第四章__圆与方程小结与复习(学案)

1第四章圆与方程小结与复习(学案)【知识归类】1．圆的两种方程：（1）圆的标准方程222()()xaybr，表示_________________________________．（2）圆的一般方程022FEyDxyx．①当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当0422FED时，表示_______________；②当0422FED时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示____________；③当0422FED时，方程__________________________________________________．综上所述，方程022FEyDxyx表示的曲线不一定是圆．2．点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：（1）2200()()xayb2r，点在__________；（2）2200()()xayb=2r，点在___________；（3）2200()()xayb2r，点在___________．3．直线与圆的位置关系方法一：几何法设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)2,2(ED到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当rd时，直线l与圆C___________；（2）当rd时，直线l与圆C_____________；（3）当rd时，直线l与圆C____________．方法二：代数法方程组0y)()(222CBAxrbyax消去y（或x），整理得到关于x（或y）的一元二次方程，设其判别式为，于是有：①当0时，直线l与圆C；②0时，直线l与圆C；③当0时，直线l与圆C.弦长问题：弦长=222dr=2121xxk（其中d表示圆心到直线的距离，k表示弦所在直线斜率）4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21rrl时，圆1C与圆2C_______；（2）当21rrl时，圆1C与圆2C______；（3）当||21rr21rrl时，圆1C与圆2C____；（4）当||21rrl时，圆1C与圆2C___；（5）当||21rrl时，圆1C与圆2C______．25.圆的切线方程：先判断点与圆的位置（①点在圆内，没有切线；②点在圆上，只有一条切线；③点在圆外，有两天切线）⑴点在圆上：①过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx②若点(x0,y0)在圆222)()(rbyax上，则圆的切线方程为(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=r2③过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx⑵点在圆外：用点斜式设切线方程00xxkyy，然后化成一般式方程，再利用圆心到直线的距离等于半径求得k。若k的解只有一个，则另一条切线的斜率不存在，即0xx。7．空间直角坐标系⑴已知点P(x,y,z)，则它在面xoy的射影是(x,y,0)，在面yoz的射影是(0,y,z)，在面xoz的射影是(x,0,z)。⑵已知点P(x,y,z)，则它关于x轴的对称点是(x,-y,-z)，关于y轴的对称点是(-x,y,-z)，关于z轴的对称点是(-x,-y,z)，关于原点的对称点是(-x,-y,-z)。⑶任意点M的坐标都可以用有序实数组),,(zyx来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M),,(zyx，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．⑷空间中任意一点),,(1111zyxP到点),,(2222zyxP之间的距离公式________________．【题型归类】题型一：求圆的方程：例1．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．题型二：圆的切线问题：例2．过圆(x－1)2+（y－1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A、B.求经过两切点的直线l方程．变式练习：自点A（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆C：x2+y2－4x－4y+7=0相切，求光线L、m所在的直线方程．题型三：与圆有关的动点轨迹问题：例3.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上2214xy运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．题型四：直线与圆的位置关系：例4：已知圆C：22(1)(3)16xy，直线:(23)(4)220lmxmym（1）当m=1时，直线l与圆C时怎么样的位置关系？（2）当m取任意实数时，直线l和圆的位置关系有无不变性，试说明理由（3）请判断直线l被圆C截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时，m的值以及弦的长度。3【思想方法】1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决2.数学方法:圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．【自我检测】1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a、b、c的值依次为（）．（A）2、4、4；（B）-2、4、4；（C）2、-4、4；（D）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为（）．(A)22(B)4(C)24(D)23.点4)()()1,1(22ayax在圆的内部，则a的取值范围是（）．(A)11a(B)10a(C)11aa或(D)1a4.自点1)3()2()4,1(22yxA作圆的切线，则切线长为（）．(A)5(B)3(C)10(D)55.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是()．(A)222yx(B)422yx(C))2(222xyx(D))2(422xyx6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）．(A)1，-1(B)2，-2(C)1（D）-17.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）．(A)xy3(B)xy3(C)xy33（D）xy338.过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）．(A)(x-3)2+(y+1)2=4(B)(x+3)2+(y-1)2=4(C)(x-1)2+(y-1)2=4（D）(x+1)2+(y+1)2=49．直线0323yx截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（）．(A)6(B)4(C)3（D）210．M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）．(A)相切(B)相交(C)相离（D）相切或相交11.点P(a,b,c)关于z轴的对称点为1P，点1P关于xOy平面的对称点为2P，则2P的坐标是。12.与直线20xy和曲线221212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是。13．已知点M在y轴上，A(1,0,2),B(1,-3,1)，且MAMB，则点M的坐标是。14．已知圆02422myxyx与y轴交于A、B两点，圆心为P，若90APB.求m的值．15.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．4第二章圆与方程小结与复习(教案)【知识归类】1．圆的两种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr，表示圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．（2）圆的一般方程022FEyDxyx．①当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当0422FED时，表示以（-2D，-2E）为圆心,FED42122为半径的圆；②当0422FED时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示一个点（-2D，-2E）；③当0422FED时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程022FEyDxyx表示的曲线不一定是圆．2．点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：（1）2200()()xayb2r，点在圆外；（2）2200()()xayb=2r，点在圆上；（3）2200()()xayb2r，点在圆内．3．直线与圆的位置关系设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)2,2(ED到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当rd时，直线l与圆C相离；（2）当rd时，直线l与圆C相切；（3）当rd时，直线l与圆C相交．4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21rrl时，圆1C与圆2C相离；（2）当21rrl时，圆1C与圆2C外切；（3）当||21rr21rrl时，圆1C与圆2C相交；（4）当||21rrl时，圆1C与圆2C内切；（5）当||21rrl时，圆1C与圆2C内含．5．空间直角坐标系任意点M的坐标都可以用有序实数组),,(zyx来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M),,(zyx，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．空间中任意一点),,(1111zyxP到点),,(2222zyxP之间的距离公式22122122121)()()(zzyyxxPP．5【题型归类】题型一：求圆的方程例1．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【审题要津】据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程．解：设所求的圆的方程为：022FEyDxyx．∵(0,0),(11AB，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于FED,,的三元一次方程组，即02024020FEDFEDF解此方程组，可得：0,6,8FED．∴所求圆的方程为：06822yxyx．542122FEDr；32,42FD．得圆心坐标为（4，-3）.或将06822yxyx左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22yx．【方法总结】条件恰给出三点坐标，不妨利用代定系数法先写出圆的一般方程再求解．题型二：圆的切线问题例2．过圆(x－1)2+（y－1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A、B.求经过两切点的直线l方程．【审题要津】此题考察过切点的直线的求法，但是要与切点在圆上的切线求法区别开来，此题不要通过求切点的方法来求直线方程，这样计算会很繁琐．解：设圆(x－1)2+(y－1)2=1的圆心为1O，由题可知,以线段P1O为直径的圆与与圆1O交于AB两点,线段AB为两圆公共弦,以P1O为直径的圆方程．5)20()23(22yx①已知圆1O的方程为(x-1)2+(y-1)2=1②①②作差得x+2y-41=0，即为所求直线l的方程．【方法总结】通过两圆作差来求公共弦，是非常简便的求法．变式练习：自点A（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆C：x2+y2