第四章中值定理与导数的应用习题

习题四1．下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值。（1）32)(2xxxf[－1，1.5]（2）211)(xxf[－2，2]（3）xxxf3)([0，3]（4）1)(2xexf[0，3]2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足就求出定理中的数。（1）3)(xxf[，a]a＞0（2）xxfln)([1，2]（3）25)(23xxxxf[－1，0]3．函数3)(xxf与1)(2xxg在区间[1，2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值。4．若4次方程043223140axaxaxaxa有4个不同的实根，证明0234322130axaxaxa的所有根皆为实根。5．用拉格朗日定理证明：若0)0()(lim0fxfx，且当x＞0时)(xf＞0，则当x＞0时，f（x）＞0。提示：对任给的x0＞0，f（x）在[0，x0]上满足拉格朗日定理的条件。6．证明不等式|sinx2－sinx1|≤|x2－x1|提示：设f（x）＝sinx7．证明：若函数f（x）在[x0，x0+δ]上连续，在（x0，x0+δ）内可导，且Axfxx)(lim0（A为常数），则f（x）在x0处的右导数存在且等于A。提示：)()()(00fxxfxxf（0＜Δx＜δ，x0＜＜x0＋Δx＝8．利用罗彼塔法则求下列极限：（1）xeexxx0lim（2）1lnlim1xxx（3）123lim23231xxxxxx（4）xxxtanlnlim22（5）43344322limxaxxaaxaxaxa≠0（6）axnxex1lima＞0，n为正整数（7）xarcxxcot1lnlim1（8）xxmxlnlim0m＞0（9）111lim0xxex（10）xxx1)sin1(lim0（11）xxx1lnlim0（12）xxxsin0lim9．求下列函数的增减区间：（1）5632xxy（2）xxy3（3）2224xxy（4）xexy（5）xxy12（6）xxyln2210．证明函数y＝x－ln（1＋x2）单调增加。12．求下列函数的极值：（1）7323xxy（2）212xxy（3）22xxy（4）xexy2（5）2)5()1(32xxy（6）32)2(3xy（7）32)1(xxy（8）23)1(xxy13．利用二阶导数，判断下列函数的极值：（1）59323xxxy（2）)2()3(2xxy（3）2)4ln(2xxy（4）xxeey214．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值；（1）5224xxy[－2，2]（2）)1ln(2xy[－1，2]（3）xxy12[21，1]（4）xxy[0，4]15．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方形开口容器，怎么做法所用材料最省？16．欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所有建筑材料最省？17．欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍。问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？18．一工厂A与铁路的垂直距离为A公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为B公里，工厂的产品必须经火车C才能转销外地，现已知汽车运费为M元/吨公里，火车运费为N元/公里（MN）。为使用运费最省，准备在铁路上另修一小站M作为转运站，问转运站应修在离火车站C多少公里外处，才能使运费最省（参看1.5的例1）？19．在一条公路的一侧有某公社的A，B两个大队，其位置如图4-38所示。公社欲在公路旁边修建一个堆货场M，并从A、B两个大队各修一条直线大道通往堆货场M，欲使A、B到M的大道总长为最短，堆货场M应修在何处？20．以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？21．甲船以每小时20公里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82公里处以每小时16公里的速度向南行驶，问经过多少时间两船最近？22．对物体的长度进行了n次测量，得n个数x1，x2，…，xn现在要确定一个量x，使得它与测得的数值之差的平方和为最小，x应是多少？23．某厂生产某种商品，其年销售量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存费为0.05元。如果年销售率是均匀的，且上批销售完后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？24．某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元，而每件的库存费c元／年。若该商品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少？25．确定下列函数的凹向及拐点？（1）32xxy（2）3553xxy（3）)1ln(2xy（4）212xxy（5）xxey（6）xey26．求下列曲线的渐近线：（1）xey（2）2xey（3）xyln（4）xey1（5）xeyx1（6）xexy（7）21xxey（8）23)1(xxy