第四章平面问题的极坐标解答(46-410)

§4-6圆环或圆筒受均布压力设有圆环或圆筒，内半径为r，外半径为R，受内压力q1及外压力q2，图4-4a。显然，应力分布应当是轴对称的。因此，取应力分量表达式（4-11），应当可以求出其中的任意常A，B，C。内外的应力边界条件要求.,,0,021qqRrRr（a）由表达式（4-11）可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求.2ln21,2ln212212qCRBRAqCrBrA（b）现在，边界条件都已满足，但上面2个方程不能决定3个常数A，B，C。因为这里讨论的是多连体，所以我们来考察位移单值条件。由（4-12）可见，在环向位移u的表达式中，EB4一项是多值的：对于同一个值，例如2111时与在，时，环向位移相差EB18。在圆环或圆筒中，这是不可能的，因为21111，，与是同一点，不可能有不同的位移。于是由位移单值条件可见必须B=0。对于单连体和多连体，位移单值条件都是必须满足的。在按应力求解时，首先求出应力分量，自然取为单值函数；再求形变分量，并由几何方程通过积分求出位移分量。在多连体中，积分时常常会出现多值函数，因此，须要校核位移单值条件，以排除其中的多值项。命B=0，即可由式（b）求得A和2C：2222212212222,rRRqrqCrRqqRrA。代入式（4-11），稍加整理，即得圆筒受均布压力的拉梅解答如下：.1111,111122222122222222212222qRrrqrRRqRrrqrRR（4-13）为明了起见，试分别考察内压力或外压力单独作用时的情况。如果只有内压力q1作用，则q2=0，解答（4-13）简化为122221222211,11qrRRqrRR。图4-4显然，总是压应力，总是拉应力。应力分布大致如图4-4b所示。当圆环或圆筒的外半径趋于无限大时（R→∞），得到具有圆孔的元限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，而上列解答成为122122,qrqr。可见应力和22r成正比。在和r之处（即距圆孔或圆形孔道较远之处），应力是很小的。可以流域。这个实例也证实了圣维南原理，因为圆孔或圆形孔道中的内压力是平衡力系。如果只有外压力q2作用，则q1=0，QEVTWGK（4-13）简化为222222222211,11qRrrqRrr（4-14）显然，和都总是压应力。应力分布大致如图4-4c所示。§4-7压力隧洞设有圆筒，埋在无限大弹性体中，受有均布压力q，例如压力隧洞，图4-5。设圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为,,EE和。由于两者的材料性质不同，不符合均匀性假定，因此，不能用同一个函数表示其解答。本题属于接触问题，即两个弹性体在边界上互相接触的问题，必须考虑交界面上的接触条件。图4-5无限大弹性体，可以看成是内半径为R而外半径为无限大的圆筒。显然，圆筒和无限大弹性体的应力分布都是轴对称的，可以分别引用轴对称应力解答（4-11）和相庆的位移解答（4-12），并注意这里是平面应变的情况，若取圆筒解答中的系数为A，B，C，无限大弹性体解答中的系数为CBA,,，由多连体中的位移单值条件，有0B，（a）B′=0。（b）现在，取圆筒的应力表达式为CACA2,222（c）取无限大弹性体的应力表达式为CACA2,222（d）试考虑边界条件和接触条件来求解常数CACA,,,。首先，在圆筒的内面，有边界条件qr，由此得qCrA22。（e）其次，在远离圆筒处，按照圣维南原理，应当几乎没有应力，于是有0,0，由此得02C。（f）再其次，在圆筒和无限大弹性体的接触面上，应当有RR。于是由式（c）及式（d）得CRACRA2222（g）上述条件仍然不足以确定4个常数，下面来考虑位移。应用式（4-12）中的第一式，并注意这里是平面应变问题，而且0B，可以写出圆筒和无限大弹性体的径向位移的表达式sincos1121112KICAEu，sincos1121112KICAEu将上列二式稍加简化，得sincos2121sincos2121KIACEuKIACEu（h）在接触面上，圆筒和无限大弹性体应当具有相同的位移，即RRuu。将式（h）代入，得sincos2121sincos2121KIRARCEKIRACRE因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立，也就是在取任何数值时都应当成立，所以方程两边的自由项必须相等（当然，两边cos的系数及sin的系数也必须相等）。于是得021222RARACn（i）其中11'EEn（4-15）由方程（e），（f），（g），（i）求出CACA,,,，然后代入（c）及式（d），得圆筒及无限大弹性体的应力分量表达式：.121112,12111211,12111211222222222222nrRnRnqnrRnnRnqnrRnnRn（4-16）当n＜1时，应力分布大致如图4-5所示。读者可以检查，由于本题是轴对称问题，因此，关于=r面上切应力等于零的边界条件、=R边界上环向的应力和位移的接触条件都是自然满足的。这个问题是最简单的一个接触问题。在一般的接触问题中，通常都假定各弹性体在接触面上保持“完全接触”，即，既不互相脱离也不互相滑动。这样，在接触面上，应力方面的接触条件是：两弹性体在接触面上的正应力相等，切应力也相等。位移方面的接触条件是：两弹性体在接触面上的法向位移相等，切向位移也相等。以前已经看到，对平面问题说来，在通常的边界面上，有两个边界条件。现在看到，在接触面上，有四个接触条件，条件并没有增多或减少，因为接触面是两个弹性体的共同的边界。“光滑接触”是“非完全接触”。在光滑接触面上，也有四个接触条件：两个弹性体的切应力都等于零，两个弹性体的正应力相等，法向位移也相等（由于有滑动，切向位移并不相等）。此外，还有“摩擦滑移接触”。即在接触面上，法向仍保持接触，两弹性体的正应力相等，法向位移也相等；而在环向，则达到极限滑移状态而产生移动，这时，两弹性体的切应力都等于极限摩擦力。接触问题中若有“局部脱离接触”，则在此局部接触面上，由于两弹性体互相脱离，各自的两个正应力和两个切应力都等于零。§4-8圆孔的孔口应力集中在本节我们研究所谓“小孔口问题”，即孔口的尺寸远小于弹性体的尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远（约大于1.5倍孔口尺寸。否则孔口应力分布将受边界条件的影响）。在许多工程结构中，常常根据需要设置一些孔口。由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力。这种现象称为孔口应力集中。孔口应力集中，不是简单地由于减少了截面尺寸（由于开孔而减少的截面尺寸一般是很小的），而是由于开孔后发生的应力扰动所引起的。因为孔口应力集中的程度比较高，所以在结构设计中应充分注意。孔口应力集中还具有局部性，一般孔口的应力集中区域约在距孔边1.5倍孔口尺寸（例如圆孔的直径）的范围内。下面介绍圆孔口的一些解答。首先，设有矩形薄板（或长柱）在离开边界较远处有半径为r的小圆孔，在四边受均布拉力，集度为q，图4-6a。坐标原点取在圆孔的中心，坐标轴平行于边界。就直边的边界条件而论，宜用直角坐标；就圆孔的边界条件而论，宜用极坐标。因为这里主要是考察圆孔附近的应力，所以用极坐标求解，而首先将直边变换为圆边。为此，以远大于r的某一长度R为半径，以坐标原点为圆心，作一个大圆，如图中虚线所示。由应力集中的局部性可见，在大圆周处，例如在A点，应力情况与无孔时相同，也就是，0,xyyxqq，。代入坐标变换式（4-7），得到该处的极坐标应力分量为0,q。于是，原来的问题变换为这样一个新问题：内半径为r而外半径为R的圆环或圆筒，在外边界上受均布拉力q。图4-6为了得出这个新问题的争答，只需在圆环（或圆筒）受均布外压力时的解答（4-14）中命qq2。于是得0,11,1122222222ρRrrqRrrq。既然R远大于r，可以取Rr=0，从而得到解答0,1,12222ρrqrq。（4-17）其次，设该矩形薄板（或长柱）在左右两边受有均布拉力q而在上下两边受有均布压力q，图4-6b。进行与上相同的处理和分析，可见在大圆周处，例如在点A，应力情况与无孔时相同，也就是0,xyyxqq，。利用坐标变换式（4-7），可得.2sincossin2,2cossincos22qqqqRR而这也就是外边界上的边界条件。在孔边，边界条件是0,0rr（b）由边界条件（a）和（b）可见，用半逆解法时，可以假设为的某一函数乘以cos2，而为的另一函数乘以sin2。但1,11222，因此可以假设2cosf（c）将式（c）代入相容方程（4-6），得09922cos32223344ddfdfddfddfd。删去因子2cos以后，求解这个常微分方程，得224DCBAf，其中A，B，C，D为待定常数。代入式（c），得应力函数2242cosDCBA，从而由式（4-5）得应力分量.62262sin,62122cos,6422cos4224242DCBADBADCB（d）将式（d）代入边界条件式（a）和（b），得.06226,0642,6226,6424224242242rDrCBArrDrCBqRDRCBARqRDRCB求解A，B，C，D，然后命0Rr，得2,,2042qrDqrCqBA再将各已知值代入式（d），得应力分量的最后表达式.3112sin,312cos,3112cos2222442222rrqrqrrq（4-18）如果该矩形薄板（或长柱）在左右两边受有均布拉力q1，在上下两边受有均布拉力q2，图4-7a，可以将荷载分解为两部分第一部分是四边的均布拉力221qq，图4-7b，第二部分是左右两边的均布拉力221qq和上下两边的均布压力221qq，图4-7c。对于第一部分荷载，可应用解答（4-17）