第四章网络定理

第四章电路定理基本内容介绍叠加定理、替代定理、戴维宁定理和诺顿定理、对偶原理及其在线性电路分析中的应用。重点1．叠加定理；2．戴维宁定理和诺顿定理；3．特勒根定理。难点1．各电路定理的应用条件；2．各电路定理对含受控源电路的处理。§4-1叠加定理1．定理推导图4.R1.1叠加定理对于图4.1.1所示电路，用网孔方程解，有sSiiUiRiRR332121112122111iiiRRRURRisSU1R2R1i2isi+-si+-+-U1i2iSU1R2R3iSU2R。。1R1i2isi+-+U-22211212iiiRRRRRUisSUUiRRRRURRRUsS2121212可见，由于电阻都是线性的，故支路电流21,ii和支路电压U都是电流源si和电压源sU的一次函数。当ssUi,0时总能作用，有sssURRRUURRiURRi21221221111当0sU时，si单独作用，有sssiRRRUiRRiiRRi21221221111而UUUiiiiii2221112．定理描述叠加定理：在线性电路中，由n个独立电源共同作用产生的各支路电流或支路电压，等于各个独立电源分别单独作用时在相应支路中产生的电流或电压的叠加。所谓独立电源不作用，指独立电压源短路，独立电流源开路，受控源则保留。注意：1）叠加定理适用于非线性电路；2）叠加时，电路的连接以及电路中所有电路和受控源都不要变动。所谓独立电源不作用，是指将电压源用短路替代，电流源用开路替代。3）叠加时，要注意电流、电压的参考方向；4）功率不是电流或电压的一次函数，故不能用叠加定理计算功率。应用叠加定理时，也可以把电路中的所有电源分成几组，按组计算电流和电压后再叠加起来。由叠加定理可推出：齐性定理：线性电路中，当所有激励（电压源和电流源）都同时增大或缩小K倍（K为实常数）时，响应（电流和电压）也将同样增大或缩小K倍。当电路中只有一个激励时，响应与激励成正比。用齐性定理分析梯形电路特别有效。总结：1）当用观察法就能把各独立电源单独作用下所产生的电压或电流求出时，应用叠加定理很方便，如果各电源单独作用时，须由回路法或节点法等才能求出各支路电流和电压，则不如直接对原电路用这些方法求解。2）当电路中的各电源不是相同的时间函数时，最好应用叠加定理求解。这样，每次只有一种时间函数的独立电源作用于电路，电路响应也只有这样相应的时间函数。3）叠加定理是分析线性电路的基础，应用它，更重要的是可用来证明线性电路的某些重要定理（如戴维宁——诺顿定理）和引出某些重要的分析方法（非正弦）。§4-2戴维宁定理和诺顿定理在第二章中，我们已知道：一个线性有源二端网络，其最简等效电路是一个电压源与电阻的串联组合，或一个电流源与电导的并联组合。利用电源的等效变换，或写端口处的伏安关系，可得到上述等效电路。并不是所有的有源二端网络，都能用等效变换的方法求出其等效电路，因此，希望找到一种普遍的方法。戴维宁——诺顿定理提供了这种普遍方法，不论怎样复杂的有源线性二端网络，都可用戴维南定理和诺顿定理得到其等效电路。一、戴维宁定理1．定理描述戴维宁定理：一个含独立电源，线性电路和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效变换（如图4.2.1所示），此电压源的电压等于该一端口的开路电压，而电阻等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电阻。上述电压源和电阻的串联组合称为戴维宁等效电路，等效电路中的电阻有时称为戴维宁等效电阻。1(a)外电路1'iU+-Ns11'++--UociuReq外电路(b)图4.2.1戴维宁定理用戴维宁等效电路来替代二端网络后，对外电路没有任何影响，即外电路中的电压和电流仍等于替代前的值。这种等效变换称为对外等效。2．定理证明外电路(e)1(a)(b)外电路11'1'UiiU++--i=i1(c)1'i=0U=UNsNsNs(1)(1)1(d)1'i=iU=UNo(2)(2)+-11'++--U=UiURsi=isocococseq图4.2.2戴维宁定理的证明过程设线性有源二端网络SN与外电路相连，如图4.2.2a所示，端口电压为u，电流为i，应用替代定理，将外电路用电流源iiS替代。如图4.2.2b所示。根据叠加定理，令0Si，一端口内所有电源共同作用得图4.2.2c，则ocuu)1(，0)1(i再令Si单独作用，一端口内所有电源均不作用，或为无源网络0N，得图4.2.2d，此时iRiRueqseq)2(ii)2(其中，eqR为无源网络0N的等效电阻。依叠加定理，有：iRuuuueqoc)2()1(iiii)2()1(得图4.2.2e。证毕。可见，戴维南定理确实提供了一种求有源一端口等效电路的普遍适用方法，无论怎样复杂的端口，都可以求出其ocu，eqR，从而代替原网络。3．定理的应用应用戴维南定理的关键，在于求出开路电压和戴维南等效电阻eqR。后者用求输入电阻的方法得到。Req的求法1）若除源后的一端口网络只含电阻，不含受控源，用电阻的串、并联以及Y等效变换求得eqR。2）分别求出含源一端口网络的开路电压及短路电流sci，则：scoceqiuR3）若除源后一端口网络含有受控源，则用“外加电源法”求得端口处看入的输入电阻inR，且：ineqRR。电路含有受控源时，应注意：1）受控源与其控制量必须同在含源一端口网络内，即受控源与其控制量不能分属于端口内、外，但控制量可以是端口处的电压和电流。2）含受控源的有源一端口网络，求eqR时要用上述方法2）和3）。在除源时，切不可将受控源像独立电源一样以开路或短路替代，而应将其保留在电路中。应用场合由于戴维南定理将有源一端口简化成了二个电路元件组成的等效电路。因此，它主要应用于：1）复杂电路中只需计算电路中某一支路的U、I时；2）分析某一参数变动的影响(如分析负载如何获得最大功率等)；3）一些简单的非线性电路(外电路可以是非线性的)。求解电路的步骤1）把待求支路以外的部分作为有源二端网络，求出其开路电压Uoc作为等效电路中的电压源电压；2）求等效电阻Req；3）用电压源Uoc与等效电阻Req串联组成戴维南等效电路代替有源二端网络（注意Uoc的参考方向），然后计算电路。二、诺顿定理1．定理描述一个含独立电源，线性电路和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合来等效变换（如图4.2.3所示），此电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导。此电流源和并联电导组合的电路称为诺顿等效电路。1(a)外电路1'iU+-Ns11'++--UociuReq外电路11'+-isciuGeq外电路(b)(c)图4.2.3诺顿定理用戴维宁等效电路来替代二端网络后，对外电路没有任何影响，即外电路中的电压和电流仍等于替代前的值。显然，诺顿等效电导与戴维南等效电阻互为倒数，且戴维南等效电路和诺顿等效电路可以互换。2．说明1）应注意等效电路中电压源和电流源的方向。2）当一端口内部含受控源时，将它的全部独立电源置零后，它的输入电阻可能等于零。这时，戴维南等效电阻为零，等效电路成为一个电压源。在这种情况下，对应的诺顿等效电路就不存在，因Geq=∞。同理，如果输入电导等于零，诺顿等效电路成为一个电流源。这种情况下，对应的戴维南等效电路就不存在，因Req=∞。通常情况下，两种等效电路同时存在。3）当只研究电路的某一部分电压或电流，或研究电路中电压和电流对某一元件变化后灵敏度，或分析电路中某一电阻获得最大功率时，用戴维宁——诺顿定理特别方便。§4-3替代定理1．定理推导i1+u3-20V6Ω4Ω(a)+-i2i38Ω+-4Vi1+us=u3=8V-20V6Ω(b)i2i38Ω+-i1+is=i3=1A-20V6Ω(c)i28Ω图4.3.1替代定理图4.3.1(a)所示电路中，可求得：U=8V，IS=1A，I2=1A，I1=2A。图4.3.1(b)电路，用US=8V代替4V+4支路；可求得：IS=1A，I1=2A，I2=1A。图4.3.1(c)电路，用IS=1A代替4V+4支路；仍可求得：I1=2A，I2=1A。2．定理描述任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uK（电流为iK），那么就可以用一个电压等于uK的理想电压源（电流等于ik的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。注意：1)适用于线性、非线性电路；定常和时变电路。2)被替代的支路可以是电阻、电压源串联电阻、电流源并联电阻。3)用独立源代替支路时，不可改变原支路的参考方向。4)一般不用于与网络其它支路有耦合关系的支路，如含受控源的支路、支路电压(电流)是其它支路受控源的控制量。§4-4对偶原理1．原理描述对偶原理：电路中某些元素之间的关系（各方程），用它的对偶元素对应置换后，所得的新关系（新方程）也一定成立。这个新关系（新方程）与原来的关系（方程）互为对偶。例如，若两个平面电路，其中一个电路的网孔电流方程组（和节点电压方程组），由对偶元素相应的置换后，可以转换成另一个电路的节点电压方程组（网孔电流方程组）。这两个电路便互为对偶，称为对偶电路。2．原理说明电阻R元件上，U=Ri或i=GU，CCVS有：2U=mr1i，VCCS有：2i=mg1U。在上述关系式中，若将U和i互换；R与G呼唤，mr与mg互换，则对应关系式可彼此转换。因此，R与G，U与i，mr与mg分别互为对偶元素。1R2RisU1G2GsiNN(a)(b)图4.4.1对偶原理电路图1图4.4.1中的两个电路，图a由3R，2R和SU串联组成；图b则由1G,2G和SU并联组成。电路N的网孔电流方程（KVL）为：12SURiRi电路的_N节点电压方程(KCL)为:_12GUGUsi图4.4.1(a)的等效电路和图4.4.1(b)的等效电导：1212R=R+RGGG在以上关系式中，将R和1G互换；SU与_si互换，串联与并联互换，网孔与节点互换，则上述两组关系式可以互相转换。我们就称上述各组关系式中两个关系式互为对偶。(a)(b)1R2R3R1sU2sUN1mi2mi1siN1G2G3G2si1nU2nU图4.4.2对偶原理电路图2又如图4.4.2所示两个电路N和_N，N的网孔电流方程（规定所有网孔电流均为顺时针方向）为：121221212322()()mmSmmSRRiRiURiRRiU电路_N的节点电压方程为：12122121222()()nnsmnsGGUGUiGUGGUi对偶原理的作用：根据对偶原理，如果导出了电路某一个关系式和结论，就等于解决了与它对偶的另一个关系式和结论。例如，含源一端口网络的两种等效电路（ocU，eqR）和（scU，eqG）互为对偶，只要论证了戴维宁定理的正确性，它的对偶（诺顿定理）自然也成立。两个电路互为对偶，并不说明两个电路等效，要注意区分“对偶”和“等效”这两个不同的概念。对偶原理同样也适用于正弦电流电路，例如根据电容和电感的电压电流关系，可知它的互为对偶元素。对偶原理的应用价值在于，若以知原电路的电路方程及其解答，则根据对偶关系即可直接写出其对偶电路的电路方程及其解答。它不但为电路的分析与计算提供了一种新方法。使电路的计算方法及对公式的记忆工作减少了一半，而且为研究新的电路开辟了新的蹊径。电路中对偶元素总结如下表：