第四节函数f(x)=Asin(ωxφ)的图像

高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网第四节函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像A组1．(2009年高考浙江卷改编)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________．解析：函数的最小正周期为T＝2π|a|，∴当|a|1时，T2π.当0|a|1时，T2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④2．(2009年高考湖南卷改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－π6)的图象，则φ等于________．解析：y＝sin(x－π6)＝sin(x－π6＋2π)＝sin(x＋11π6)．答案：11π63．将函数f(x)＝3sinx－cosx的图象向右平移φ(φ0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．解析：因为f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为5π6.答案：5π64．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－πφπ)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f(x)的最小正周期为π2；②函数f(x)的振幅为23；③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝712π；④函数f(x)的单调递增区间为[π12，712π]；⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－23π)．解析：据图象可得：A＝3，T2＝5π6－π3⇒T＝π，故ω＝2，又由f(7π12)＝3⇒sin(2×7π12＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－2π3(k∈Z)，又－πφπ，故φ＝－2π3，故f(x)＝3sin(2x－2π3)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝7π12是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[π12，7π12]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤5．(原创题)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________．高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋π4)，则2010≥2πω2⇒ω≥π2010.答案：π20106．(2010年苏北四市质检)已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωx·sin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．解：(1)f(x)＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32，令2ωx＋π6＝π2，将x＝π6代入可得：ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(12x－π6)＋32，当x＝4kπ＋43π，k∈Z时，函数取得最大值52.令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π(k∈Z)，∴4kπ＋4π3≤x≤4kπ＋103π(k∈Z)．即x∈[4kπ＋4π3，4kπ＋103π]，k∈Z为函数的单调递减区间．B组1．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π≤φπ)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图可知，T2＝2π－34π，∴T＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y＝sin(45x＋φ)．又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φπ，∴φ＝910π.答案：910π2．(2010年南京调研)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知T＝2(2π3－π6)＝π.∴ω＝2πT＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.答案：π63．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω0)的最小正周期为π，为了得高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象________．解析：∵f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω0)的最小正周期为π，∴2πω＝π，故ω＝2.又f(x)＝sin(2x＋π4)∴g(x)＝sin[2(x＋π8)＋π4]＝sin(2x＋π2)＝cos2x.答案：向左平移π8个单位长度4．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝________.解析：T2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT＝3.又(712π，0)是函数的一个上升段的零点，∴3×712π＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－π4＋2kπ，k∈Z，代入f(π2)＝－23，得A＝223，∴f(0)＝23.答案：235．将函数y＝sin(2x＋π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称．解析：由y＝sin(2x＋π3)＝sin2(x＋π6)可知其函数图象关于点(－π6，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－π12，0)对称，只需向右平移π12即可．答案：右π126．(2010年深圳调研)定义行列式运算：a1a2a3a4＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝3cosx1sinx的图象向左平移m个单位(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．解析：由题意，知f(x)＝3sinx－cosx＝2(32sinx－12cosx)＝2sin(x－π6)，其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－π6＋m)，平移后其对称轴为x－π6＋m＝kπ＋π2，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋2π3(k∈Z)，故m的最小值为2π3.答案：2π37．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝tan(ωx＋π4)(ω0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．解析：y＝tan(ωx＋π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω(x－π6)＋π4]，即y＝tan(ωx＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝12－6k(k∈Z)．∵ω0，∴k＝0时，ω的最小值为12.答案：128．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋π3)|的最小正周期是π2；②函数y＝sin(x－3π2)在区间[π，3π2]上单调递增；③x＝5π4是函数y＝sin(2x＋5π6)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．解析：由于函数y＝sin(2x＋π3)的最小正周期是π，故函数y＝|sin(2x＋π3)|的最小正周期是π2，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网①正确；y＝sin(x－3π2)＝cosx，该函数在[π，3π2)上单调递增，②正确；当x＝5π4时，y＝sin(2x＋5π6)＝sin(5π2＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos5π6＝－32，不等于函数的最值，故x＝5π4不是函数y＝sin(2x＋5π6)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：29．(2009年高考上海卷)当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．解析：当0≤x≤1时，y＝sinπx2的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．当k0，kx≤sinπx2时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sinπx2≥kx.答案：k≤110．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2，依题意，得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)依题意，得g(x)＝2sin[3(x－π2)＋π4]＋2＝2sin(3x－5π4)＋2.由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12(k∈Z)．故g(x)的单调增区间为[23kπ＋π4，23kπ＋7π12](k∈Z)．11．(2009年高考陕西卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0,0φπ2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，π12]时，求f(x)的最值．解：(1)由最低点为M(2π3，－2)得A＝2.由T＝π得ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M(2π3，－2)在图象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，∴4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，即φ＝2kπ－11π6，k∈Z.又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)∵x∈[0，π12]，∴2x＋π6∈[π6，π3]，∴当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)取得最大值3.12．(2009年高考福建卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω0，|φ|π2.(1)若cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0，求φ的值；高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．解：法一：(1)由cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0得cosπ4cosφ－sinπ4sinφ＝0，即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋π4)．依题意，T2＝π3，又T＝2πω，故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋π4)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋π4]，g(x)是偶函数当且仅当3m＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，即m＝kπ3＋π12(k∈Z)．从而，最小正实数m＝π12.法二：(1)同法一．(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋π4)．依题意，T2＝π3.又T＝2πω，故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋π4)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋π4]．g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，亦即sin(－3x＋3m＋π4)＝sin(3x＋3m＋π4)对x∈R恒成立．∴sin(－3x)cos(3m＋π4)＋cos(－3x)·sin(3m＋π4)＝sin3xcos(3m＋π4)＋cos3xsin(3m＋π4)，即2sin3xcos(3m＋π4)＝0对x∈R恒成立．∴cos(3