第四节函数单调性与曲线的凹凸性

第四节函数单调性与曲线的凹凸性我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性.本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法.内容分布图示★单调性的判别法★例1★单调区间的求法★例2★例3★例4★例5★例6★例7★例8★曲线凹凸的概念★例9★例10★曲线的拐点及其求法★例11★例12★例13★内容小结★课堂练习★习题3-4★返回内容要点：一、函数的单调性：设函数)(xfy在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)若在(a,b)内0)(xf,则函数)(xfy在[a,b]上单调增加;(2)若在(a,b)内0)(xf,则函数)(xfy在[a,b]上单调减少.二、曲线的凹凸性：设)(xf在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,则(1)若在(a,b)内，,0)(xf则)(xf在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内，,0)(xf则)(xf在[a,b]上的图形是凸的.三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1)求函数的二阶导数)(xf；(2)令0)(xf，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3)对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(xf的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.例题选讲：函数单调性的判断例1（讲义例1）讨论函数1xeyx的单调性.例2（讲义例2）讨论函数32xy的单调区间.注：从上述两例可见，对函数)(xfy单调性的讨论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导数)(xf在各子区间的符号，从而确定出函数)(xfy在各子区间上的单调性，每个使得)(xf的符号保持不变的子区间都是函数)(xfy的单调区间.求单调区间例3（讲义例3）确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.例4求函数32))(2(xaaxy)0(a的单调区间.例5当0x时,试证)1ln(xx成立.应用单调性证明：例6（讲义例4）试证明：当0x时,221)1ln(xxx.例7（讲义例5）证明方程015xx在区间)0,1(内有且只有一个实根.例8证明方程1lnexx在区间),0(内有两个实根.曲线凹凸性判断例9（讲义例6）判定)1ln(xxy的凹凸性.例10（讲义例7）判断曲线3xy的凹凸性.例11（讲义例8）求曲线14334xxy的拐点及凹凸区间.例12求曲线])2,0[(cossinxxxy的拐点.例13（讲义例9）求曲线32bxay的凹凸区间及拐点.课堂练习1.若,0)0(f是否能断定)(xf在原点的充分小的邻域内单调递增?2.设函数)(xf在),(ba内二阶可导,且,0)(0xf其中),(0bax,则))(,(00xfx是否一定为曲线)(xf的拐点?举例说明.