相似原理和量纲分析习题

第三节流动相似条件流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。相似流动必然满足以下条件：1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值条件；3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满足的条件。模型实验主要解决的问题：1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，选择流动介质；2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。第四节近似模拟试验完全相似和不完全相似动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。例如：粘滞力相似：由得重力相似：由得由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态，称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。一、物理方程量纲一致性原则第五节量纲分析1、量纲量纲是物理量的一种本质属性，是同一物理量各种不同单位的集中抽象。如：s单位：km，m，cm，mm等t单位：hour，min，second等s-----具有长度的量纲[L]t-----具有时间的量纲[T]V-----具有速度的量纲同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]，[L]，[T]等。导出量纲-----由基本量纲导出,如一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相同。2、方程量纲一致性-----方程两端具有相同量纲量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。二、瑞利法1.定义：根据量纲量一致性原则，确定相关量的函数关系。假定物理量y是x1、x2等的函数。则关键的问题是怎么根据量纲一致性原则确定各个x的指数。2.举例：三、π定理由于方程量纲一致性，用其中任意一项去除方程两端，都可将有量纲函数式变成无量纲函数式。但这些无量纲函数式可以互相推导：它们所包含的独立无量纲量数目（不能相互推导）是多少？共有两个，它们可以表示为：为什么？与匀变速运动有关物理量的量纲指数：设四个物理量组成的函数形式：如果是无量纲量→其基本量纲指数为零。------只有那些线性无关的解组（基础解系）才能组成彼此独立的无量纲量。当当解向量解向量独立无量纲量(m)=与问题有关的物理量(n)-量纲指数矩阵秩(r)柏金汉（Buckingham）π定理：如果与某一物理问题有关的物理量有n个，这n个量的量纲指数矩阵的秩为r，则表达这一问题规律性的n个量之间的函数关系，可以用这n个量组成的n-r个独立无量纲量的函数式来表示：1.选取影响流动的n个物理量并写出下述函数关系如求解过程：2.选择m个独立变量，原则是要既相互独立，又包含三个基本量纲.一般选:几何尺度几何尺度速度质量3.用n–m个无量纲量写出准则方程4.求5.将带入准则方程式求得结果。例.流体通过孔板流量计的流量qv与孔板前、后的压差ΔP、管道的内径d1、管内流速v、孔板的孔径d、流体密度ρ和动力粘度μ有关。试用π定理导出流量qv的表达式。（dimΔP=ML-1T-2，dimμ=ML-1T-1）。查看答案解：设qv=f(ΔP,d1,v,d,ρ,μ)选d,v,ρ为基本变量上述方程的量纲方程为：由量纲一致性原则，可求得：a1=0a2=1a3=0a4=1b1=1b2=2b3=0b4=1c1=2c2=0c3=1c4=1