第四讲二次函数与最值问题专题讲座

第四讲二次函数与最值问题专题讲座一、考点梳理考点1：二次函数的解析式一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a(x+k)2+h交点式：y=a(x-x1)(x-x2)考点2：二次函数的图象：抛物线考点3二次函数的性质：二次函数图像的开口方向；顶点坐标；对称轴方程；最值.二、题型透视（一）、填空题1、（2010丽水）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A、2252xyB、2254xyC、252xyD、254xy2（2010南充）抛物线)0)(3)(1(axxay的对称轴是（）A、x=1B、x=1C、x=3D、x=33、（2010荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E（x，122xx）可以由E（x，2x）怎样平移得到？（）A．向上平移１个单位B．向下平移１个单位C．向左平移１个单位D．向右平移１个单位4、（2010咸宁）已知抛物线2yaxbxc（a＜0）过A（2，0）、O（0，0）、B（3，1y）、C（3，2y）四点，则1y与2y的大小关系是A．1y＞2yB．1y2yC．1y＜2yD．不能确定5（2010襄樊）若函数22(2)2xxyx　　≤　（x2），则当函数值y＝8时，自变量x的值是（）A．±6B．4C．±6或4D．4或－66、（2010东营）二次函数cbxaxy2的图形如图所示，则一次函数acbxy与xcbay在同一坐标系内的图象大致为（）7、（2010荆门）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误．．的是()(A)ab＜0（B)ac＜0(C)当x＜2时，y随x增大而增大；当x＞2时，y随x增大而减小(D)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根。8．（2010桂林）12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于F,设BE=x，DCBA10-1xyAOxyBOxyCOxyyDOx2xoyADBCEFFC=y，则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图象是()．A．B．C．D．（二）、解答题9、已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；(3)在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y=21x+b(bk)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.10、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．11、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请xy2412Oxy2412Oxy2412Oxy2412O说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？12.（2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．13.（2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:1yx2(xm)m0m与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．FECBAB'C'【压轴训练】（2010眉山）如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E，CC的延长线交BB于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC=，∠CAC=，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．家庭作业校区_____科目_____姓名_________作业等级_____第一部分1、（2009鄂州）把抛物线cbxaxy2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是532xxy，则a+b+c=_______________。2、（2009湖州）已知抛物线)0(2acbxaxy的对称轴为直线x=1，且经过（11y，），（22y，），试比较21yy，的大小：21_______yy.(填“”或“”或“=”)3、（2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3D．4第二部分5.（2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3)如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．