第四讲基本不等式(两节)

1基本不等式一、基本不等式：⒈定理1：222abRabab若、，则，当且仅当ab时，222abab等号成立。0001232abRababab注：定理成立的条件，；“”成立的条件是；几何意义是分别以、边长的正方形的面积不小于以，为边长的矩形的面积的倍。000022212312412ababRabababRab定理：若、，则，当且仅当时，取“”注：定理成立的条件是，；等号成立的条件是；几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高；圆的半弦长不小于半径长主要应用：证明不等式；求最值或取值范围。05,,2,ababRababab若，则为的算术平均，为的几何平均。2二、题组2：利用基本不等式证明不等式272P12直通车例、⒈所用基本知识：不等式的有关性质、两个基本定理、还有柯西不等式、排序不等式；⒉证明不等式的基本方法：比较法（最基本、最重要的方法）、综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等。⒊证题的基本思路：认真分析已知条件，理解好关键条件条件，分析好条件与所求证式之间的关系，分析好条件、结论与有关定理的关系，从而找出适当的证明方法。⒋常用已证过的不等式：2a0（aR）;a0（aR）;222abab及其变形；2222;ababab222();22abab22221(),()4;2abababab2abab（a0，b0）及其变形2(0),2(0).babaabababab222112ababab3022221.131()();242111112,,,(1)(1)112(2)1aakkkkkkkkkkkNkkk注：应用基本不等式进行放缩以上且02应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论．（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”等命题；（4）结论为“唯一”类命题；222222221.2.111;28212521254.4abcabbcacbabbbbb2求证：已知a,b(0,+)，且a+b=1，求证：（1）a（）；1（3）a+；a1（）a+a3.0111114abcabbcca已知,,,,求证：,,中至少有一个不大于4⒋330,0,2,2pqpqpq若且求证：5.0,2111221xxxxxxx已知求证：1146.,abcabbcac已知求证：2227.R2Nnnnabcabcabcnn已知,,,且，求证：＜,其中，＞,⒏在直角坐标系xOy中，点P到两点(03)，，(03)，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线1ykx与C交于A，B两点．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若OAOB，求k的值；（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有|OA||OB|．⒐数列{}na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列{}nb为等比数列，且113,1ab，数列{}nab是公比为64的等比数列，2264bS.（1）求,nnab；（2）求证1211134nSSS.⒑设数列na满足3*110,1,,nnaacacnNc其中为实数。（Ⅰ）证明：[0,1]na对任意*nN成立的充5分必要条件是[0,1]c；（Ⅱ）设103c，证明：1*1(3),nnacnN;（Ⅲ）设103c，证明：222*1221,13naaannNc三、题组2利用基本不等式求最值：1.定理：和为定值积最大；积为定值和最小。2222333312.2223223baabaabaababababcabcabcabcabcR重要结论：；；；；,其中，，,⒊求最值的基本方法：函数单调性、配方法、判别式法、有界性、导数法等。注；01运用定理时在注意“一定、二正、三相等”；176P12直通车-02解题技巧：①等分某一个式子；②两边平方后再处理或运用换元法进行转化；179P4直通车6③加(减)同一个数或乘(除)同一个数；176270P13P2直通车-,例，④“1”的逆用；176271P2P4直通车例,真题,03解题步骤：先把所求式化为熟悉的基本不等式，然后判断其是否为正数，再判断是否为定值，最后判断等号是否成立；04灵活运用各种方法求最值。176179P31P3直通车-、272275PP直通车、名校联考⒈已知302x,求函数(32)yxx的最大值.2.R3abababab若,，且满足，则的取值范围是＿＿＿⒊求函数22(3)3xyxx的最小值.21xyx⒋求函数2232xyx的最小值.⒌已知0,0ab,2310ab,求32ba的最大值；⒍已知0x，0y，且21xy，则11uxy的最小值；7222197.,,1,8.,,1,12xyRxyxybabRaab已知:且求的最小值；已知:且求的最大值.⒐已知函fxkxb数的图象与xy、轴分别相交于点A、B,22ABij(i、j分别是与xy、轴正半轴同方向的单位向量),函数226gxxx(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)g(x)时,求函数)(1)(xfxg的最小值.四、题组3基本不等式在实际中的应用解题思路：⑴认真审题，理解好关键字眼，明确各个条件的关系，明白在做一件什么事；⑵根据审题，建立合适的数学模型；⑶求解数学模型；⑷检验所得结果是否满足题意；⑸得出实际问题的解，并作答。⒈某村计划建造一个室内面积为8002m的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？⒉如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为28米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与ab,的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当ab,各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量最小（A，B孔的面积忽略不计）