函数的奇偶性第二课时

回顾：1.奇函数和偶函数概念?2.奇函数和偶函数的图像特征?3.函数按奇偶性分为哪几类?4.如何判断一个函数的奇偶性?5.和函数与积函数的奇偶性规律?1．偶函数:f(x)的定义域D内任意实数x，都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数2．奇函数:f(x)的定义域D内任意实数x，都有f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为奇函数偶函数和奇函数概念?oxoxyy函数图像关于y轴对称函数是偶函数函数图像关于原点对称函数是奇函数奇函数和偶函数的图像特征?函数f(x)任意x∈D，f(-x)=f(x)任意x∈D，f(-x)=-f(x)f(-x)和f(x)没有关系（举反例）偶函数奇函数非奇非偶函数D关于原点对称D不关于原点对称既奇又偶函数函数按奇偶性分为哪几类?如何判断一个函数的奇偶性?偶函数＋偶函数是偶函数奇函数＋奇函数是奇函数偶函数×偶函数是偶函数奇函数×奇函数是偶函数奇函数×偶函数是奇函数和函数与积函数的奇偶性规律?思考:如果奇函数当x=0有意义,则f(0)=偶函数也有此性质吗?oxoxyy已知偶函数y=f(x)在y轴左边部分的图像,试作出y=f(x)在y轴右边部分的图像已知奇函数y=f(x)在y轴右边部分的图像,试作出y=f(x)在y轴左边部分的图像01).已知f(-x)=f(x)成立,则f(x)一定是偶函数;2).f(x)不是偶函数,则其一定是奇函数;3).既是奇函数又是偶函数只能是f(x)=0,x∈R;4).偶函数图像必定关于y轴对称;5).f(x)和g(x)是定义域为R的奇函数,则f(x)-g(x)为非奇非偶函数;6).非奇非偶函数的定义域关于坐标原点不对称;7).偶函数图像一定和y轴相交;错错错错对错错例题1:是非题例2:判断下列函数奇偶性,并说明理由2(1)1)2)()(1)(1)xxyfxxx-==--22113)()114)()5)()212xfxxxfxfxxa=-+-=+=--2336)()4xfxx+-=-24();|3|xfxxx7).()11fxxx=++-,()1111()()xRxRfxxxxxfxfx蝄-?\-=-++--=-++=\是偶函数解:1,08).()1,0xxfxxxì+ïï=íï-ïî当时当时().0,0,()1,()1()()0,0,()1,()1(1)()(),()fxxxfxxfxxfxfxxxfxxfxxxfxfxfx-=+-=--\-=--=--=-+=--\-=-是分段函数当时所以当时所以所以是奇函数例题2:判断下列函数的奇偶性解:例3:函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x+1,求①当x0时,f(x)的解析式②求f(x)在R上的解析式oxy-1-111练习:已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2-4x+1,求x0时,f(x)的解析式.解:设x0,则-x0时,所以f(-x)=(-x)2-4(-x)+1=x2+4x+1.又因f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(x)=-x2-4x-1.22(1)(1)2,mnymxmxn=-+-++已知是奇函数求和222222:()()(1)(1)2(1)(1)21(1)221,2fxfxmxmxnmxmxnmmnnmn-=----++=-------=--+=--=?-由奇函数定义得即由且得例4解:思考:2(),,,,1)()2)()fxaxbxcxRabcfxfx=++?函数中满足什么条件时是偶函数,是奇函数已知函数2();fxaxbxc()fx（2）函数是奇函数的充要条件是________.（1）函数是偶函数的充要条件是________.()fxb=0a=c=0思考:例5:1(),(),()(),1()()fxgxfxgxxfxgx+=-函数是偶函数是奇函数且满足求和的解析式分析:要求解出f(x)=?和g(x)=?关键要再构造出一个关于f(x)和g(x)等式,和已知等式联立例6:已知函数为奇函数,求m的值.1()21xfxm解:由f(0)=0得m=-1/2.53()5fxaxbxcx例7:已知函数且，求的值。(2)8f(2)f解：设，5)()(xfxg则是奇函数，)(xg3)2()2(gg因为，35)2()2(fg所以，35)2(f则.2)2(f1.奇函数和偶函数概念2.奇函数和偶函数的图像特征3.函数按奇偶性分类4.判断函数的奇偶性步骤5.和函数与积函数的奇偶性规律判断奇偶性作图注意分段函数已知奇函数y=f(x)1.其图像与x轴可能有几个交点?2.所有与x轴交点的横坐标的和是多少?3.图像与直线y=ax可能有几个交点?所有交点的横坐标的和是多少?例2已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x＋y）=f（x）＋f（y）试判断函数f（x）的奇偶性。练习：已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x－y）=f（x）－f（y）试判断函数f（x）的奇偶性。例5作出下列函数的图象：()yfx（1）奇函数一部分图象如右所示，xy（2）作出图象。3||22xxyxyo333411323222xxxxy00xx（此函数是偶函数）