等差数列与等比数列的应用

第25课等差数列与等比数列的应用●考试目标主词填空1.用归纳法或已知数列{an}的前n项和Sn，写出数列{an}的通项公式，其模式为：an=)1()1(11n-SSnSnn.2.灵活运用等差数列、等比数列的诸种性质，解决有关问题，在等差数列中，常见的性质有①与首末等距离，项之和不变，②均匀抽取一些项，依原次序排出来仍成等差数列.3.考察等比数列的单调性，往往要分类讨论.4.利用等差数列、等比数列有关知识，解决实际生活中的有关问题.5.利用等差数列，等比数列有关知识，解决日常生活中的“分期付款问题”.●题型示例点津归纳【例1】已知首项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且对一切正整数n都有SnTn，求数列{an}的公比q的取值范围.【解前点津】由已知条件SnTn，构造一个关于q的不等式，解之即得.【规范解答】∵12nnaa=a1qn-2故数列12nnaa是一个首项为qa1，公比为q的等比数列.∵q≠1(否则，由Sn=Tn和与条件矛盾).∴Tn-Sn=)1()1(1qqqan-qqan1)1(1=qqn1·a1.又∵TnSn，a10，∴qqn10，∴q(qn-1)0.若q0，则对奇数n都有q(qn-1)0,所以q0.当q0且q≠1时，qn1，q1于是，所求q的取值范围是(0，1).【解后归纳】只有当公比q≠1时，才能使用公式Sn=qqan1)1(1.【例2】已知在数列{an}中，a1=-2，且an+1=Sn(n∈N*)，求an，Sn.【解前点津】应用公式an+1=Sn+1-Sn.【规范解答】∵an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn，∴Sn+1=2Sn(n∈N*).∴{Sn}是公比为2，首项为S1=a1=-2的一个等比数列，∴Sn=a1·2n-1=-2n，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n-1，∴an=)1(2)1(21nnn.【解后归纳】对任一数列{an}，可用Sn表示an.即：an=)2()1(11nSSnSnn.【例3】解答下列有关分期付款的问题.(1)已知贷款总值为a万元，按复利计算，期利率为r，5期还完，每期付款多少万元?(2)已知贷款a万元，按单利计算，期利率为r，5期付完，每期付款多少万元?【解前点津】所谓分期付款，就是每期等额付款的一种付款方式，列出每期付款x万元后，剩额多少便一目了然.【规范解答】(1)设每期付款x万元，则：第一期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)4；第二期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)3；第三期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)2第四期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)第五期付x万元，到结清时实值为：x.到结清时共付款的实值为：x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2+x(1+r)+x.此时它应与a万元存入银行五年等值.即：x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2+x(1+r)+x=a(1+r)5解之：x=1)1(]1)1[()1(55rrra.(2)设每期付x万元，则：第一期付x万元，到结清时实值为：x(1+4r)；第二期付x万元，到结清时实值为：x(1+3r)；第三期付x万元，到结清时实值为：x(1+2r)；第四期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)；第五期付x万元，到结清时实值为x，到结清时共付款的实值为：x(1+4r)+x(1+3r)+x(1+2r)+x(1+r)+x.此时它应与a万元存入银行五年等值，即：x［(1+4r)+(1+3r)+(1+2r)+(1+r)+1］=a(1+5r)x=rra105)51(.【解后归纳】付款有特定的计算方式，分清单利还是复利，掌握“程序”，是解题的要领.【例4】(1)在边长为a的正三角形内作一个内切圆，在内切圆内作一个内接正三角形，然后又在这个正三角形内作一个内切圆，将这种操作进行下去，求所有这些圆的面积之和.(2)在一个棱长为a的正方体内作一个内切球，然后在这个球内作一个内接正方体，然后又在正方体内作内切球，将这种操作一直进行下去，求所有这些球体体积之和.【解前点津】(1)将正三角形的边长与数列{an}对应.(取a1=a)，将圆的半径与数列{Rn}对应.然后求出Rn的通项公式.(2)将正方体的棱长与数列{xn}对应，且x1=a，将内切球的半径与数列{yn}对应，然后求出yn的通项公式.【规范解答】(1)设正三角形的边长依次构成数列{an}，且a1=a；内切圆的半径依次构成数列{Rn}.先计算R1.如图所示，∵R1与2a是两直角边，∴R1=2atan30°=63a.因第n个正三角形的边长是an，所以，第n个内切圆的半径Rn=63an，下面计算a2.如图所示，∵22a=R1cos30°，∴a2=2·(63a)·(23)=21a，∴R2=63a2=123a，又∵12RR=123aa36＝21，∴{Rn}是一个首项为63a，公比为21的一个等比数列.Rn=(63a)·（21）n-1,从而R2n=32a·n41S=πR21+πR22+πR23+…+πR2n+…=32a(41+241+341+…+n41+…)=32a41141=9a2.(2)设正方体的棱长依次构成数列{xn}，且x1=a，内切球的半径依次构成数列{yn}下面分别计算x2，y1，y2.∵2y1=x1，∴y1=2a.在球内作内接正方体时，正方体对角线的长度等于球的直径.故由2y1=3x2得x2=32a，∴y2=22x=32a.∵12yy=31，∴{yn}是一个首项为2a，公比为31的一个等比数列，∴yn=2a(31)n-1=23an31，y3n=8333an331.∴V=V1+V2+V3+…+Vn+…=34πy31+34πy32+34πy33+…+34πy3n+…=34π·(8333a)·963)3(1)3(1)3(1=23πa3×33)3(11)3(1=5239πa3.【解后归纳】将几何问题与数列对应，构造递推数列，计算数列的首项.推导数列的通项公式，依据通项公式计算使问题得一解决，是应用数列知识的具体体现.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.数列{an+b}中，a、b为常数，a0，该数列前n项和为Sn，那么当n≥2时，有()A.Sn≥n(a+b)B.Sn≤an2+bnC.an2+bnSnn(a+b)D.n(a+b)Snan2+bn2.设数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}必定是()A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.3.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a7，a10，a15是一等比数列{bn}的连续三项，若该等比数列的首项b1=3，则bn为()A.3·135nB.3185nC.3153nD.3132n4.已知数列{an}中，a1=14，an+1=an-32(n∈N*)，则使an·an+20成立的n值为()A.20B.21C.22D.235.等差数列{an}中，Sn是前n项和，且S3=S8，S7=Sk，则k=()A.4B.11C.2D.126.某厂去年产值为a元，计划在今后5年内每年比上年产值增长10%，则从今年起到第五年止，这个厂的总增产值为()A.1.14aB.1.15aC.1.1·(1.15-1)aD.(1.16-1)a7.某商品零售价1998年比1997年上涨25%，欲控制1999年比1997年上涨10%，则1999年比1998年降价()A.15%B.12%C.10%D.5%8.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为二个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成()A.511个B.512个C.1023个D.1024个9.等比数列{an}的首项为a1=1536，公比q=-21，用Tn表示它的前n项之积，则Tn(n∈N*)的最大的是()A.T9B.T11C.T12D.T13二、思维激活10.已知等差数列{an}的前n项和当且仅当n=5时Sn有最小值，若a7+a8=72，则满足-9≤an≤260者有项.11.在等差数列{an}中，若前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数为.12.数列2，22，222，…的前n项之和Sn=.13.一个数列{an}，当n为奇数时，an=5n+1；当n为偶数时，an=22n，则这个数列前2n项之和为.三、能力提高14.等比数列{an}各项为正，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项之和的4倍，且第2项与第4项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项之和最大?15.设数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0，Sn+1+Sn=kan+1(|k|1)，问数列{an}是否为等比数列，并说明理由.16.已知数列{an}满足条件：a1=1，a2=r(r0)，且{anan+1}是公比为q(q0)的等比数列，设bn=a2n-1+a2n，求数列{bn}的前n项和Sn.17.购买一件售价为12000元的商品，采取分期付款的办法.每期付款数相同，购买后一个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第4次付款后全部付清.如果月利率为0.5%，按复利计算，那么每期应付款多少?第4课等差数列与等比数列的应用习题解答1.CSn=a·2)1(nn+bn=2an2+(2a+b)nan2+bn.2.A由an+1-an=an-an-1即得.3.A由条件a210=a7·a15(a1+9d)2=(a1+6d)·(a1+14d)(d≠0)，∴a1=-23d，∴a7=29d，a10=215d，a15=225d，∴{bn}的公比q=710aa=35，∴bn=b1·qn-1=3·(35)n-1.4.Ba1=14，d=-32，∴an=a1+(n-1)d=344-32n，∴1≤n≤21时，an0；n=22时，an=0；n≥23时，an0，∴n=21时，a21·a230.5.AS3=S8，3a1+3d=8a1+28d，∴a1=-5d，S7=Sk，则7a1+21d=ka1+2)1(kkd，∴k2-11k+28=0，∴k=4或k=7(舍)∴k=4.6.C明年的产值为1.1a，到第五年止总产值为1.16a，故总增产值为1.16a-1.1a(1.15-1)a.7.B设1999年比1998年下降x%，则(1-x%)(1+25%)=(1+10%),即x%=12%，故选B.8.B利用等比数列知识.9.Can=1536·(-21)n-1其前n项之积Tn=1536n·(-21)2)1(nnT9，T12，T13为正数，T10，T11为负数，故只须比较T9，T12，T13，∵a10=1536·(-21)9=-3，a11=a10·(-21)=23，a12=a11·(-21)=-34，a13=a12·(-21)=83且a10·a11·a12=(-3)·(23)·(-43)=8271，∴T12=a10·a11·a12·T9T9，又0a131及T13=a13·T12，∴T13T12.10.∵a7+a8=72，∴S14=2)(141aa×14=2)(87aa×14=7×72，∵S14=2d×(n2-10n)=28d，∴28d=7×72，∴d=18，∴an=2d(2n-11)=8n-99.由260991891nn5≤n≤19共有15项.11.a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=21+67，∴a1+an=41(21+67)=22，∵Sn=286，即2n(a1+an)=28611n=286，∴n=26.12.设数列为{an}，则an=92×10n-92，∴Sn=92(10+102+…+10n)-92n=812×10n+1-92n-8120.13.因奇数项依次为6，16，26，…5(2n-1)+1，偶数项依次为2，2