等差等比数列的计算与证明

-1-等差、等比数列的计算与证明一、选择题1．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋a72＝7a4＝28.答案：C2．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，则a5＝－3，d＝a5－a15－1＝－3＋114＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn取最小．故选A.答案：A3．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()A．T10B．T13C．T17D．T25解析：a3a6a18＝a31q2＋5＋17＝(a1q8)3＝a39，即a9为定值，所以与a1下标和为18的项积为定值，可知T17为定值．答案：C4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．26C．30D．16解析：S3nSn＝142＝1－q3n1－qn，∴qn＝2.∴S4n＝Sn·1－q4n1－qn＝30.故选C.答案：C5．(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.152B.314C.334D.172解析：an0，a2a4＝a21q4＝1①-2-S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7②解得a1＝4，q＝12或－13(舍去)，S5＝a11－q51－q＝4×1－1321－12＝314，故选B.答案：B二、填空题6．(2010·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.解析：∵{an}是等比数列，q＝4，S3＝a11－q31－q＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.答案：4n－17．(2009·辽宁理)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.解析：由题意知65a1＋5×42d－53a1＋3×22d＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，故a4＝13.答案：138．数列{an}满足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝anan＋1，则数列{bn}的前10项和S10＝________.解析：由题可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得1an＋1－1an＝1，则1an＝1＋(n－1)＝n，所以an＝1n，bn＝anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝1－111＝1011.答案：10119．已知数列{an}(n∈N*)满足：an＝nn＝1，2，3，4，5，6－an－6n≥7，且n∈N*则a2007＝________.解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈N*)知an＋12＝－an＋6＝an从而知当n≥7时有an＋12＝an于是a2007＝a167×12＋3＝a3＝3.答案：3三、解答题10．如图给出了一个“等差数阵”：-3-其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式．解：(1)该等差数阵的第1列是首项为4，公差为3的等差数列，a41＝4＋3×(4－1)＝13，第2列是首项为7，公差为5的等差数列，a42＝7＋5×(4－1)＝22.∵a41＝13，a42＝22，∴第4行是首项为13，公差为9的等差数列．∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，∴第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列．∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解：由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0，∴p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，-4-∴p＝r.这与p≠r相矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．12．已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和Sn＝an＋124，(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为2，前n项的和为Tn.若对任意n∈N*，Sn≤Tn均成立，求实数b的取值范围．解：(1)由a1＝a1＋124，解得a1＝1.当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝an＋12－an－1＋124，得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.又因为an0，所以an－an－1＝2.因此{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即an＝2n－1(n∈N*)．(2)因为Sn＝n2，Tn＝b(2n－1)，所以Sn≤Tn对任意n∈N*恒成立，当且仅当1b≤2n－1n2对任意n∈N*均成立．令Cn＝2n－1n2，因为Cn＋1－Cn＝2n＋1－1n＋12－2n－1n2＝n2－2n－1·2n＋2n＋1n2·n＋12，所以C1C2，且当n≥2时，CnCn＋1.因此1b≤C2＝34，即b≥43.