等比数列前n项和教案教学设计【多种方法推导公式】

版权所有翻版必究aprily20121教学设计个人信息姓名单位联系方式设计者实施者指导者教学基本信息课题2.3.2等比数列前n项和学科数学学段高中年级高一相关领域教材书名：数学出版社：人教社出版日期：2007年4月第3版1.指导思想与理论依据本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会意识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。2.教学背景分析1）教学内容分析教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教B版）2.3.3,是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。从知识的体系来看：本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列n前项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。探索公式的推导、体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要，涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教学内容。2）学生情况分析（1）知识和技能基础：学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。（2）方法和经验基础：对合情推理的方法还比较陌生，对归纳、方程等思想方法有一定体会。（3）可能存在的问题：合情推理—演绎证明的逻辑关系不能准确理解，自己独立思考难以得出结论版权所有翻版必究aprily201223.教学目标(含重、难点)1)教学目标：知识与技能：理解等比数列前n项和公式的推导过程，会用公式解决简单问题过程与方法：经历等比数列求和公式的探索过程，提高观察发现、归纳类比、演绎证明的思维能力情感、态度与值观价：感受数学知识蕴含的思维价值，发展数学的理性思维2)教学重点：等比数列前n项和公式的推导3)教学难点：探索等比数列前n项和公式推导的思路与方法4.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教学时间一温故知新，问题引入（一）温故知新问题1：在前面的学习中我们了解了一般数列的研究方法，并对一个特殊的数列等差数列进行了深入研究；请同学们回顾研究等差数列的过程，思考我们研究了等差数列的哪些问题？接下来我们研究等比数列也要从这四个方面进行研究，我们已经学习了等比数列的定义、通项公式、性质，今天我们继续研究等比数列的前n项和。（二）问题引入想一想，你需要知道关于这个数列的哪些信息，就可以告诉我它的前n项和？好的，那么这节课要解决的问题就是问题1：已知等比数列na的首项1a，公比q，项数n，求nS.nS的数学符号表达：12nnSaaa等比数列的nS还可表示为：211111nnSaaqaqaq这个表达式已经用1,,aqn将nS表达了出来，能否用这个算式求nS？所以我们还需对这个公式进行化简，想办法推导出nS更简明的表达形式。回答：定义、通项公式、性质、前n项和预设：首项1a（或任意一项），公比q，项数n项数较少时可以，当项数较多时无法用它来求和温故知新，形成对知识的整体感知。明确本节课要研究的主要内容通过分析nS结构繁琐，引出探究公式化简形式的必要性5版权所有翻版必究aprily20123二探究方法，拓展思维预设：方法一合情推理归纳：问题1：解决这种形式复杂却有规律的问题，我们可以从简单情况入手，尝试找规律，请同学们写出123,,SSS，归纳前几项的规律，根据前几项的结构，能否猜想出nS的结构？11Sa221111111qSaaqaqaq322311111111qSaaqaqaqqaq……211111nnSaaqaqaq2111nnSaqqq111nnqSaq观察第三项的结构，在哪里见过？只有第三项符合这种结构，我能否猜想第n项也符合这种结构？看看2S和1S是否符合结构？猜想：111nnqSaq猜想所得公式成立的条件是什么？1q时nS如何表达？所以：111111nnnaqSqaqq猜想未必正确，但却能为我们的证明提供方向。动手尝试，寻找规律，尝试化简立方差公式3211qqq不能，再看几项符合1q1nSna解决复杂问题从简单入手找规律，符合学生认知规律，自然引发学生思考联想曾经学过的知识，发现规律归纳猜想出一般结论明确公式结构，对q进行分类讨论揭示猜想的价值55版权所有翻版必究aprily20124二探究方法，拓展思维证明：错位相减问题2：如何证明刚才的猜想？111111nnnaqSqaqq分类：1q时1nSna成立观察1q时，111nnqSaq的结构，这种分式结构的等式如何证明？欲证：1111nnqSaqq只需证：111nnqSaq只需证：11nnnSqSaq=211111211111nnnnnSaaqaqaqqSaqaqaqaq①②观察发现，两式中有相同的项，于是将②式向后错一位，对齐相同项，再相减211111211111nnnnnSaaqaqaqqSaqaqaqaq①②①-②得：11111nnnnnSqSaaqqSaq即：1q时，111nnqSaq，猜想得证将nS乘q，再向后错一位，对齐相同项再相减，这种方法叫做错位相减法，错位相减法为什么能够简单的求出nS？什么样的结构可以使用错位相减法？分两种情况讨论1q时，该数列为常数列，1nSna显然成立。转化为整式消去了大量的中间项预设1：后一项是前一项倍数的形式预设2：错位之后能抵消的形式分析证明方法，给学生搭建台阶揭示错位相减法适用的问题类型10版权所有翻版必究aprily20125二探究方法，拓展思维这是我们解方程组时常用的消元法。所以我们也可以将这两个等式看成方程组，将中间相同部分看成整体消去求出nS，这种做法体现了数学思想中的整体思想。回顾我们猜想的过程，是由几种特殊情况归纳猜想出一般结论，这种方法叫作：归纳法由归纳猜想得出的结论，未必一定正确，所以还需对猜想进行证明。这种归纳推理的方法是数学中合情推理的一种。在研究数学问题的过程中，常常是先猜再证，并且猜有时比证更困难，因为他是一个从无到有的发现过程。因此合情推理是数学研究中发现新结论的重要方法。此处约定，对于1q时1nSna显然成立，因此在后续证明中，我们只研究1q的情况。预设：方法二递推公式——通项公式问题3：12,,,nSSS构成了一个新的数列，它是等比数列吗？它是如何构成的？那么数列na的前n项和nS同时也是这个新数列的通项，我们将问题转化为了求数列12,,,nSSS通项公式的问题。如何求一个陌生数列的通项公式？回顾等差数列和等比数列我们是如何求他们的通项公式的？所以，我们可以尝试寻求nS前后两项的递推关系，即nS与1nS的关系，从而求出通项公式。2211111221111112nnnnnSaaqaqaqnSaaqaqaqaq观察上式，能否找到nS与1nS的关系？1nnnSSa这种递推公式的结构，可用何种方法求nS还能找到其他递推关系吗？112nnSqSan这种递推公式的结构符合我们学过的哪种递推不一定，由na的前几项和组成的1(2)nnaadn叠加1(2)nnaqna叠乘1nnnSSa叠加法行不通112nnSqSan1nnakab揭示思想方法揭示合情推理对数学结论发现的价值从另一种视角看待nS，将未知问题转化为已知问题类比已学知识，为后续证明做铺垫，降低难度类比已学知识5版权所有翻版必究aprily20126二探究方法，拓展思维关系求通项？如何求nS112nnSqSan设：1nnStqSt解得：11atq即：11111nnaaSqSqq令：11nnaTSq，则：12nnTqTn所以，辅助数列nT是以111aSq为首项，以q为公比的等比数列。由1nnTTSq后续计算留做作业思考：尝试总结一下这种方法，我们是如何求出nS的。小结：通过递推公式求通项公式的方法，我们以前就学习过，今天我们将求前n项和nS的问题转化为了求数列通项nS的问题，这种将未知问题向已知问题转化的方法也是我们数学学习中常用的方法，同学们注意体会。预设：方法三方程组法问题4：上述两个递推公式都给出了nS与1nS的关系，还能否找到另一种求nS的方法？1112nnnnnSqSanSSa①②由②得1nnnSSa，构造辅助数列将nS看成12,,,nSSS这个数列的通项，利用递推关系求通项公式方程组法：1112nnnnnSqSanSSa呈现解题思路揭示思想方法引出方程思想版权所有翻版必究aprily20127二探究方法，拓展思维代入①得1nnnSqSaa解得1111nnqSaqq当1n时，11111aqaSq上式成立小结：此种方法体现了哪种数学思想？预设：方法四叠加法问题5：类比等差数列求和的方法，你能想出什么办法来求等比数列前n项和nS？21321nnaaqaaqaaq叠加得：12nnnSaqSan解得：1111nnqSaqq当1n时，11111aqaSq上式成立小结：这是什么数学思想方法预设：方法五合比定理问题6：利用等比数列定义，32121nnaaaqaaa，前面学过类似的结构吗？如何解决求和的问题？321212nnaaaqnaaa23121nnaaaqaaa方程思想叠加法类比方法正弦定理2sinsinsinabcRABC利用合比定理揭示思想方法类比已学知识揭示思想方法预设学生可能出现的方法版权所有翻版必究aprily20128即：12nnnSaqnSa解得：1111nnqSaqq当1n时，11111aqaSq上式成立小结：这个方法与哪个方法本质是相同的？叠加法揭示方法的本质三总结提升，归纳方法1、回顾本节课我们学习了什么内容？2、在公式推导中我们运用了哪些方法？3、体现了什么数学思想方法？等比数列前n项和公式合情推理猜想结论，再用错位相减的方法进行证明，体现了消元方法和整体思想从新的视角将nS看成数列12,,,nSSS的通项，将求和问题转化为了求数列通项的问题，体现了转化的思想建立含nS的方程组，求出nS，体现了方程思想转化思想、方程思想、类比方法、归纳方法、分类讨论方法观察能力、推理论证的能力总结提升，形成数学思维的模式2五布置作业1.已知：等比数列1111,,,,24816求前n项和nS2.已知：数列na的通项公式12nnan求前n项和nS课后完成后测，1题检测学生基本知识的掌握，2题反映学生对方法的理解