简单的线性规划问题与基本不等式作业及答案

简单的线性规划问题与基本不等式作业及答案一、选择题：1.(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3解析：不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0所围成的区域如图所示．则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a－1，∵S△ABC＝2，∴12(1＋a)×1＝2，解得a＝3.答案：D2．已知D是由不等式组x－2y≥0，x＋3y≥0所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为()A.π4B.π2C.3π4D.3π2解析：如图，l1、l2的斜率分别是k1＝12，k2＝－13，不等式组表示的平面区域为阴影部分．∵tan∠AOB＝12＋131－12×13＝1，∴∠AOB＝π4，∴弧长＝π4·2＝π2.答案：B3.(2009·天津高考)设变量x、y满足约束条件x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，则目标函数z＝2x＋3y的最小值为()A．6B．7C．8D．23解析：约束条件x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3表示的平面区域如图易知过C(2,1)时，目标函数z＝2x＋3y取得最小值．∴zmin＝2×2＋3×1＝7.答案：B4．(2009·陕西高考)若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2)B．(－4,2)C．(－4,0]D．(－2,4)解析：可行域为△ABC，如图当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－a2＞kAC＝－1，a＜2.当a＜0时，k＝－a2＜kAB＝2，∴a＞－4.综合得－4＜a＜2.答案：B5.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元解析：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件20x＋10y≥100，0≤x≤4，0≤y≤8，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．解得当x＝4，y＝2时，zmin＝2200.答案：B6．(2009·四川高考)某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是()A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元解析：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且x≥0，y≥0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18，联立3x＋y＝13，2x＋3y＝18，解得x＝3，y＝4.由图可知，最优解为P(3,4)，∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：D7.设x、y均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy的最小值为()A．4B．43C．9D．16解析：由32＋x＋32＋y＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，可解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案：D8．(2009·天津高考)设a0，b0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.14解析：∵3是3a与3b的等比中项，∴(3)2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋(ba＋ab)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝12取等号)．答案：B9．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．8B．6C．4D．2解析：(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a·xy＋yx＋a≥a＋1＋2a·xy·yx＝a＋2a＋1，当且仅当a·xy＝yx等号成立，所以(a)2＋2a＋1≥9，即(a)2＋2a－8≥0，得a≥2或a≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：C10．设a、b是正实数，以下不等式①ab2aba＋b；②a|a－b|－b；③a2＋b24ab－3b2；④ab＋2ab2恒成立的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：∵a、b是正实数，∴①a＋b≥2ab⇒1≥2aba＋b⇒ab≥2aba＋b.当且仅当a＝b时取等号，∴①不恒成立；②a＋b|a－b|⇒a|a－b|－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋2ab≥2ab·2ab＝222恒成立．答案：D11.若a是2－b与2＋b的等比中项，则2ab|a|＋|b|的最大值为()A.2B．1C.24D.22解析：∵a是2－b与2＋b的等比中项，∴a2＝2－b2⇒a2＋b2＝2.根据基本不等式知2ab|a|＋|b|≤2|a|·|b||a|＋|b|≤a2＋b22＝1.即2ab|a|＋|b|的最大值为1.答案：B12．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则a2x＋b2y≥(a＋b)2x＋y，当且仅当ax＝by时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝2x＋91－2x(x∈(0，12))取得最小值时x的值为()A．1B.15C．2D.13解析：由a2x＋b2y≥(a＋b)2x＋y得，f(x)＝222x＋321－2x≥(2＋3)22x＋(1－2x)＝25.当且仅当22x＝31－2x时取等号，即当x＝15时f(x)取得最小值25.答案：B二、填空题：13．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解之得－7＜a＜24.答案：(－7,24)14.设m为实数，若(x，y)x－2y＋5≥03－x≥0mx＋y≥0⊆{(x，y)|x2＋y2≤25}，则m的取值范围是____________．解析：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果－m0，则可行域取到x＜－5的点，不能在圆内；故－m≤0，即m≥0.当mx＋y＝0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置．此时－m＝－43，∴m＝43.∴0≤m≤43.答案：0≤m≤4315．(2010·太原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a0，b0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a＋1b取最小值时，函数f(x)的解析式是________．解析：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故12a＋b＝1，1a＋1b＝(12a＋b)(1a＋1b)＝32＋ba＋a2b≥32＋2.当且仅当b＝22a时取等号，将b＝22a代入12a＋b＝1得a＝22－2，故f(x)＝(22－2)x＋1＋1.答案：f(x)＝(22－2)x＋1＋116．已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为xa，所以2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥22(x－a)·2x－a＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥32，即a的最小值为32.答案：32三、解答题：17．已知关于x、y的二元一次不等式组x＋2y≤4，x－y≤1，x＋2≥0.(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．解：(1)作出二元一次不等式组x＋2y≤4，x－y≤1，x＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小，解方程组x＋2y＝4，x＋2＝0，得C(－2,3)，∴umin＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，解方程组x＋2y＝4，x－y＝1，得B(2,1)，∴umax＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组x＋2y≤4，x－y≤1，x＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z＝x＋2y＋2，得y＝－12x＋12z－1，得到斜率为－12，在y轴上的截距为12z－1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距12z－1最小，即z最小，解方程组x－y＝1，x＋2＝0，得A(－2，－3)，∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距12z－1最大，即z最大，∴zmax＝4＋2＝6.∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.18．某人上午7时乘摩托艇以匀速vkm/h(4≤v≤20)从A港出发到距50km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h(30≤w≤100)自B港向距300km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是xh、yh．若所需的经费p＝100＋3(5－y)＋2(8－x)元，那么v、w分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费．解：依题意4≤50x≤2030≤300y≤1009≤x＋y≤14x0，y0，考查z＝2x＋3y的最大值，作出可行域，平移直线2x＋3y＝0，当直线经过点(4,10)时，z取得最大值38.故当v＝12.5、w＝30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元．19．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.证明：∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)＝(1－a)(1－b)(1－c)abc＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)abc≥2bc·2ac·2ababc＝8.当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．20．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为162x米．则总造价f(x)＝400×(2x＋2×162x)＋248×2x＋80×162＝1296x＋1296×100x＋12960＝1296(x＋100x)＋12960≥1296×2x·100x＋12960＝38880(元)，当且仅当x＝100x(x0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件知0x≤160162x≤16，∴1018≤x≤16.设g(x)＝x＋100x(1018≤x≤16)，由函数性质易知g(x)在[1018，16]上是增函数，∴当x＝1018时(此时162x＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×(1018＋80081)＋12960＝38882(元)．∴当长为16米，宽为1018米时，总造价最低，为38882元．21.为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入