矢量匹配改进

矢量匹配改进摘要：本文介绍了矢量匹配过程的修改，它是为了有理函数频域响应的逼近。修改大大提高了矢量匹配的能力来移居磁极到更好的位置，从而改进其收敛性能和降低最初极集规范的重要性。这是在更宽松的条件下，通过更换矢量匹配缩放功能的高频渐近要求来实现的。当被污染的噪声匹配响应时，计算结果表现出一个很大的性能改进。该过程也证明传输线路、网络当量和变压器的宽带建模是有优势的。关键词：宏模型，合理近似值，系统识别，矢量匹配（VF）。一．引言矢量匹配[1],[2]已成为一种在频率领域进行线性系统识别的流行工具。应用程序通常成为设备和子系统的造型，已达到在电力系统中瞬态分析[3]-[5]和微波系统信号完整性表征的目的[6]，[7]。VF也被用于以下领域的屏蔽分析中：电磁兼容性（EMC）研究[8]、格林函数表示[9]和最优样本计算[10]。VF本质上是Sanathanan–Koerner循环[11]的一个强大的再形成，它运用有理基函数（局部的组分）代替多项式和极搬迁，而不是权重[12]。此外，VF给出了具有保证稳定磁极的嵌合，可直接应用于多端系统，并且计算机代码是免费获得的[13]。利用时域响应[14]和频率导数[15]的VF新规划已经得到发展。VF是基于迁移初期磁极到更好位置的迭代。当使用正确的顺序拟合一个有理函数的频域响应时，磁极通常可以被缓慢安置到接近机器精度的其最终位置上。然而，在实际应用中，它将用较低阶函数来改进响应，进而证明一些迭代是需要的。当频率响应包含一个非理性元件（例如，噪声）时，这种情况可能会恶化，并且在某些情况下，VF的收敛甚至引起熄火。本文表明收敛性质可以通过VF的一个小变形得到大大改善。VF的公式化包括一个定标函数，其在高频率下接近统一。它表示这个高频渐近条件在汇聚处有一个非常不良的影响。这个问题通过更换一个更宽松的渐近条件来解决，它仅用来为最小二乘（LS）的问题提供一个不普通的答案。计算结果表明：该修改在汇聚属性上提供一个重大的改进。二．矢量匹配我们首先回顾VF的原始提法。我们的目标是近似的频率响应（一般地，是向量；因此，指定VF），配有一个有理函数，并且条件d和e是可选的。如在[1]、[2]所解释的，在VF首次通过解决在最小平方里发现的磁极，线性问题当是一个纯量，通常是一个矢量，是一组初始极点。（所有在（3）和（4）中的极点和余数是真实的，或者当d和e是真的时变成复杂的双复共轭）。然后，它可以示出[1]的极点必须等于零，其中可以计算为特征值的矩阵[16，p.612]。在（5）中，A是一个保持初始极点的对角矩阵，b是一个列向量，并且是一个保持余数的行向量。这个过程可以以迭代的方式、用新的极点替换之前的两极，应用在（2）-（5）的反复求解上。这极搬迁过程通常在2-3迭代上收敛。极点已经确定后，（1）的残基通过求解对应LS极问题为最终计算。图1.f(s)无噪音的有理逼近三．收敛性问题VF极点识别的理由是该解决方案（2）将产生的点作为零极点。如图[1]中提到的，当是理性和初始的极数等于数的磁极时，这将确实成为现实。然而，当含有非理性的贡献（例如，噪声），或者初始极数低于的顺序，它也不可能完全满足（2）。在这种情况下，（2）的解决方案是一个简单的具有最小LS的错误。因为被乘以并且（2）的右侧是一个未知（有理）函数，有一个激励以产生一个其小的幅度，因为这允许减少（2）的左、右面的幅度。与此同时，重定位长距离极点可能要求用一个大的变化幅度。因为由（3）被强迫在高频率接近统一，的一个大的动态变化通常导致在某些频率间隔的大的幅度和一个LS错误的增加。我们将以一个简单的例子证明此问题。考虑一阶有理函数的嵌合使用初始磁极10Hz；。图1表示通过（2）得到的和。正如所预期的，在100Hz时（它被作为极点）。（2）拟合误差接近机器精度应当指出，有一个非常大的动态变异，在低频逼近10000。图2表示加入1％的随机噪声后的相同结果。新的极点，现在出现在109.6赫兹，而不是在100千赫兹，并且的动态变化在大大减少，在这种情况下，这是不可能由于噪声得到零拟合误差（2）的。如果在图1中极点已经搬迁到正确的位置（100kHz），的幅度将在低频时已接近10000，相比于图2中较小的，将导致（2）中倍率的偏差。增加噪音水平进一步降低了的动态变化和极点迁移能力。图2.f(s)的有理逼近1％的噪音初始的VF在另一方面，如果我们看一下例子，其中有一极点在10赫兹，我们使用的初始极点在100千赫兹，，那么在在低频变（和在高频率接近统一）时变得非常小的无声。在嘈杂的情况下，极点在一个重复中迁移到似近正确的值，因为的动态变化导致拟合误差（2）的减少。由此可以得出结论，在高频时近似统一该渐近要求，即接近统一，代表LS的问题（2）的不对称性，从而可以显著破坏极点迁移过程。四．改进VFVF配方（MVF）的修改显示在以下通过除去LS问题的渐近要求（2）时，给出改进的衔接。这是通过下式替换（3）实现的是已知值。为了避免多解或无解，我们向所得的LS问题添加一个方程公式（8）强制执行实部的总和，在其给定的频率下采样非零值，没有任何固定的自由变量。作为MVF收敛，将在所有频率下近似统一（），类似于初始VF的公式化。注意，在运用式（8）不同右侧时，该过程将起作用，所得的比例将导致式（2）中的相同的比例。由此，它遵循的标准（8）和防止变为零比起来，在LS问题上不强加任何约束。图3.f(s)的有理逼近1％的噪音改进的VF等式（8）应当相对于的尺寸在LS的问题上被加权，例如W是指定的权重的嵌合。因为在迭代中在高频下不近似统一，（5）必须替换为[16,p.612]（10）式的零点计算只适用于非零数。如果的绝对值被发现为小于时，解决方案被舍弃并且LS问题用固定值在（7）中再次求解：。我们现在在图2（图3）中相同的问题找到新的公式化。可以看出，所述动态变化在中大得多，并且接近一个值，该值在高频时比个体小得多。极点是从10Hz一步步迁移到70.9kHz的（目标：100kHz），相比于仅109.6Hz的原始VF（图2）。五．实例：频率依赖网络当量（FDNE）A.例子MVF公式化的优点将通过从FDNE识别（图4）的一个例子展示。33的导纳矩阵Y计算相对于50Hz至1MHz的馈电母线并且我们将改进一个对角元素。原始极点VF将被选择为复共轭对线性分布在整个频率范围内（即50Hz到1MHz）。为了更好地测试极点迁移性质，我们将代替分发初始磁极（复杂对）中较低的范围，50Hz到500kHz之间。这需要VF迁移极点很长距离。B.改进响应图5表示当采用N=50极和15次迭代时所得到的嵌合初始VF。可以看出，约950kHz的两个共振峰没有被捕获，图6表示通过使用改性的VF，所有主要的共振峰被嵌合。图4.三相配电系统（所有的长度以千米为单位）图5.有理逼近N=50原VF（15次迭代）图6.有理逼近N=50修改的VF（15次迭代）图7表示当采用的VF和MVF时，根均方（rms）误差作为迭代次数的函数。可以看出，N=50极时，MVF对最终的结果给出了一个快得多的收敛和更高的精度。当N=100，其改进是小的。在后一种情况下，拟合误差是小的，因此磁极可以在每次迭代中较长的步骤被重定位。C.噪声的影响我们现在在0.10之间增加实值随机噪声的响应后重复改进，图8表示了均方根误差的迭代次数的函数，类似于图7。可以看出，与初始VF公式化相比，迭代几乎根本不降低拟合误差，甚至高达100。由MVF，均方根误差迭代到一个水平，接近有效值减小噪声本身（0.0058）。MVF的逼近与图9中（N=50）的初始响应相比较。比较也取得了当初始极点放置在高频率、复共轭双500kHz和1MHz之间的线性分布。再次，VF停滞而MVF给了一个收敛甚至比图8快。图7.RMS误差作为迭代次数的函数图8.RMS误差作为迭代次数的函数图9.通过MVF有理逼近（N=50，30次迭代）图10.架空线图11.对h(s)有理逼近：VF和MVF引起偏差（5次迭代，N=7）六．实例：传输线建模在这个例子中，我们考虑一个25公里单个导体架空线以上有损地面的传播函数的拟合（图10）。对于图1中的配置，如图10所示，串联阻抗计算，并考虑到在导体和地，并且该并联导纳的趋肤效应y=sC。传播函数而获得最后，该无损时间延迟，从除去乘以（11）的所述因子其中l是线的长度，c是光的速度。一个理性的近似计算采用七阶近似频率范围为1Hz-1MHz的拟合h。初始磁极分别作为实部和对数间隔在嵌合范围内，这是用于传输线建模“推荐”的选择。参数d和e在（1）中被指定为零。图11表示幅值函数h(s)与复杂偏离有理近似的大小，分别在VF和MVF的5次迭代后。可以看出，MVF给出显著较小偏差（注意对数纵坐标轴）。图12表示均方根误差的迭代次数的函数。从中可以看出，MVF给出了一个快的多的收敛，尽管最终的结果（10次迭代）是，在这种情况下，非常相似。一个小的增加拟合误差迭代4次后观察MVF。图12.RMS误差作为迭代次数的函数图13.VF的改进（N=40，15次迭代）七．实例：变压器建模在本例中，我们考虑从测量终端响应的双绕组变压器建模。66的导纳矩阵Y是从50Hz到1MHz[4]。状态空间模型进行拟合Y建立其列[16]。当测量低频率时，难以以指定要使用的VF为初始极点。在低频率的平滑行为提出使用对数间隔极点，而在高频率下的谐振行为提出使用线性隔开极。在实践中，人们可以摆脱这一困难通过使用对数和线性隔开的极的组合，但是，这是复杂的。幸运的是，随着MVF，所选择的初始极点的意义大大降低。图13表示使用作为初始极点Y的20复杂对，那些50Hz和1MHz之间对数间隔时经过15次迭代由VF获得的第一列的接头。（逆LS加权由[4，eq（18）]，使用以改善其中元件是小的精确度）。然而，仔细看看图13揭示了接头的质量是显著较差在高频率（100kHz）的比在低频，这是在低频的高浓度初始磁极的结果。使用MVF时重复计算。图14中的放大图，通过这两种方法在高频率的结果之间直接比较。可以清楚地看出，相对于VF，MVF给出更精确的结果，这是更好的不确定MVF的性质的直接结果的极点。在较低频率时两种方法准确性相似。图14.扩展视图：高频率时的VF和MVF八．讨论VF原来的公式化涉及功能，以接近团结在无限频率缩放功能。第三节结果显示：这一渐近要求降低迁移初期极点到更好的位置的能力，因为渐近要求结合所要求的大动态变化可导致（2）中LS拟合误差的增加。通过较宽松的准则（第四部分）替换渐近要求时，需要在频率样本是非零的实部的总和，这种情况被大大改善。这种新的标准可以在避免细小（空）溶液自由地变化。在VF与MVF的收敛性的进一步讨论可以在[17]中找到。结果表明：当偏置到搬迁两极向低频率时，VF发生降尺度现象尤其在改进嘈杂的响应和使用太低的条件时更是如此。在一般情况下，其结果是，VF将产生一个比MVF不太精确的最终结果。MVF的公式化给出了（2）的最小二乘方程的一个附加行和一个附加列的解法，但在另外的计算时是可以忽略不计的。在第五节改进的VF（MVF）应用在一个放置在较低频带中并添加的噪声的初始极点的例子。在这种情况下，VF的收敛很差而MVF的性能仍然可以接受。有人可能会说，这是一个人为的例子，但它很好地展示了与VF融合的问题，并展现了MVF取得的进步。在第六节中，MVF是通过某一特征方法适用于传输线模型，其中的任务之一是模拟传播功能。这里，当使用“推荐”的选择初始极点时，MVF展现出的收敛比VF快得多。有人可能会认为这样的结果是微不足道的，因为标量函数的低阶拟合，在任何情况下都很快。然而，某些传输线模型依赖于式（11）的补偿来优化时间延迟。这是在EMTDC和EMTP-RV相域下提供输电线路/电缆型号的例子，也见[18]。这样的程序导致大量的改进过程，从而使MVF优势更快的收敛。在第七节，VF应用于纵列拟合测量变压器的响应（α参数）。在这种情况下，很难在高频率下、即使经过15次迭代还指定一组良好的初始极点和VF的缓慢收