算法合集之《平面图在信息学中的应用》

平面图在信息学中的应用海南省海南中学刘才良引言平面图是图论中一类重要的图，在实际生产中应用非常广泛。比如集成电路的设计就用到平面图理论。在信息学中，虽然有关平面图的题目并不多见，但对于某些题目，如果通过建模转化，应用平面图的性质，将大大提高算法的效率。因此，掌握一些平面图理论会对我们有很大的帮助。相关定义、定理及推论平面图–一个无向图G=V，E，如果能把它画在平面上，且除V中的节点外，任意两条边均不相交，则称该图G为平面图。例如：图(a)经变动后成为(b)，故图(a)为平面图。而图(c)无论如何变动，总出现边相交，图(c)为非平面图。(a)(b)(c)相关定义、定理及推论面–设G为一平面图，若由G的一条或多条边所界定的区域内不含图G的节点和边，这样的区域称为G的一个面，记为f。包围这个区域的各条边所构成的圈，称为该面f的边界，其圈的长度，称为该面f的度，记为d(f)。为强调平面图G中含有面这个元素，把平面图表示为G=V，E，F，其中F是G中所有面的集合。相关定义、定理及推论定理1：若G=V，E，F是连通平面图，则∑f∈Fd(f)=2|E|.定理2：若G=V，E，F是连通平面图，则|V|-|E|+|F|=2.证明：首先假定G是树，则|E|=|V|-1，G只有一个无限面，因此|V|-|E|+|F|=|V|-(|V|-1)+1=2.现在假设G不是树，由于G是连通的，故G中至少存在一个基本圈C，于是G必有一个有限面f，而f的边界是由基本圈C及可能连同计算两次的一些边组成.如果从G中删去基本圈C上的一条边后得到的平面图G1=V1，E1，F1，则|V1|=|V|，|E1|=|E|-1，|F1|=|F|-1，故|V1|-|E1|+|F1|=|V|-|E|+|F|，仿此做下去，最终得到G的一棵生成树T0=V0，E0，F0，于是|V|-|E|+|F|=|V0|-|E0|+|F0|=2.相关定义、定理及推论推论1：给定连通简单平面图G=V，E，F，若|V|≥3，则|E|≤3|V|-6且|F|≤2|V|-4.推论2：设G=V，E，F是连通简单平面图，若|V|≥3，则存在v∈V，使得d(v)≤5.邻接表、散列表结构O(|V|)VS邻接矩阵结构O(|V|2)推论1：|E|=O(|V|)应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)平面上有N(N=8000)条互不相连的竖直线段。如果两条线段可以被一条不经过第三条竖直线段的水平线段连接，则这两条竖直线段被称为“水平可见”的。三条两两“水平可见”的线段构成一个“三元组”。求给定输入中“三元组”的数目。（坐标值为0到8000的整数）应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)分析把线段看成点若两条线段水平可见，则在对应两点之间连一条边，建立无向图G统计G中的三角形的数目应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)算法一–设数组C[I]（I=0..2Ymax），C[2y]表示覆盖y点的最后一条线段，C[2y+1]表示覆盖区间(y,y+1)的最后一条线段–把线段按从左到右的顺序排序–依次检查每一条线段L(L=[y'，y''])•检查L覆盖的所有整点和单位区间（C[u]，u=2y'..2y''）•若C[u]≠0，则G.AddEdge(C[u]，L)•C[u]←LO(NlogN)O(N)O(Ymax)总计：O(NYmax)时间性能分析如何建立图G？应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)算法二–定义线段树T：•设节点N描述区间[a,b]的覆盖情况0(无线段覆盖[a,b])•则N.Cover=L(线段L完全覆盖[a,b])-1(其他情形)–线段树的存储：使用完全二叉树的数组结构，可以免去复杂的指针运算和不必要的空间浪费。如何建立图G？时间性能分析排序：O(NlogN)检索：O(NlogYmax)插入：O(NlogYmax)总计：O(NlogYmax)空间性能分析线段：O(N)线段树：O(Ymax)边表：O(N)应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)算法一枚举所有的三元组，判断三个顶点是否两两相邻。由于总共有Cn3个三元组，因此时间复杂度为O(N3)算法二枚举一条边，再枚举第三个顶点，判断是否与边上的两个端点相邻。根据水平可见的定义可知G为平面图，G中的边数为O(N)，故算法二的复杂度为O(N2)算法一与算法二的比较算法一只是单纯的枚举，没有注意到问题的实际情况，而实际上三角形的数目是很少的，算法一作了许多无用的枚举，因此效率很低。算法二从边出发，枚举第三个顶点，这正好符合了问题的实际情况，避免了许多不必要的枚举，所以算法二比算法一更加高效。统计图G中三角形的数目应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)算法三—换个角度，从点出发每次选取度最小的点v，由推论2知d(v)≤5，只需花常数时间就可以计算含点v的三角形的数目.应用二叉堆可以提高寻找和删除点v的效率，总的时间复杂度仅为O(NlogN)算法二与算法三的比较算法二是以边作为出发点的，从整体上看，平面图中三角形的个数只是O(N)级的，而算法二的复杂度却是O(N2)，这种浪费是判断条件过于复杂造成的。算法三从点出发，则只需要判断某两点是否相邻即可。有没有更好的办法？应用-例2:洞穴(CEOI97)在同一水平面上有N(N=500)个洞穴，洞穴之间有通道相连，且每个洞穴恰好连着三个通道。通道与通道不相交，每个通道都有一个难度值，现从1号洞穴开始遍历所有的洞穴刚好一次并回到洞穴1，求通过通道难度值之和的最小值。(给定所有通道的信息和在外圈上的洞穴)应用-例2:洞穴(CEOI97)分析本题求的是最优路径，但最优路径具备什么性质并不明显，故考虑深度优先搜索。N最大达到500，考虑剪枝以提高效率。基本剪枝条件：若当前路径的难度值的总和比当前最优值大则放弃当前路径。为了找到强剪枝条件，考虑问题所具有的特性–所有点的度数为3–所给的图是平面图–外圈上的点已知应用-例2:洞穴(CEOI97)情形一考虑路径1-3-5-6-12-10，由于每个洞穴必须被访问到，而11号洞穴只有一条可用通道9-11，访问11后不能再回到1，故该路径不可能遍历所有点。剪枝条件一在所有未访问的洞穴中，与其相邻的已访问过的洞穴（第1个与当前访问的最后一个除外）的个数小于等于1。410912117856213应用-例2:洞穴(CEOI97)情形二路径1-3-7-9-10-8-4把图分成两部分，而且两部分中都有未访问过的点。由于图是平面图，其中必有一部分点不能被访问到。剪枝条件二设外圈上的点按连接顺序为1,a2,…,ak，则访问的顺序只能为：1,…,a2,…,a3,…,…,…,ak,…,1.109121178564213应用-例3:地图着色(ACMShanghai2000)分析：把每个区域看成点，相邻区域之间连一条边，则问题转化为对每个点着色并使得相邻点颜色不同。根据地图的平面性可知：转化后的图是平面图。给定一地图，要求用不超过5种颜色涂每一个区域，使得相邻区域的颜色不同。（区域数=500）对于任意平面图G，是否都能用不超过5种颜色着色？应用-例3:地图着色(ACMShanghai2000)定理：对于任意平面图G，都能用不超过5种颜色着色.证明：只需考虑G是连通简单平面图的情形.若|V|≤5，则命题显然成立.假设对所有的平面图G=V，E，当|V|≤k时命题成立.现在考虑图G1=V1，E，|V1|=k+1的情形.由推论2可知：存在v0∈V1，使得d(v0)≤5.在图G1中删去v0，得图G1-v0.由归纳，图G1-v0可用5种颜色着色.若邻接结点使用颜色数不超过4，则可对v0着色，得到一个最多是五色的图G1.应用-例3:地图着色(ACMShanghai2000)若d(v0)=5且各邻接点分别着不同的颜色，则设与之相邻的点的按顺时针排列为v1,v2,v3,v4,v5.它们分别着不同的颜色c1,c2,c3,c4,c5.考虑点集Vc1,c3={v|v∈V(G1-v0)∧a(v)=c1或c3}所诱导的G1-v0的子图Vc1,c3.若v1,v3属于Vc1,c3的不同的分图，则在v1所在的分图中，调换颜色c1与c3后，v1,v2,v3,v4,v5五个点是四着色的，再令v0着c1色，得到G1的一种五着色.v1v5v4v3v2v0v1v5v4v3v2v0应用-例3:地图着色(ACMShanghai2000)若v1,v3属于Vc1,c3的同一的分图，则点集Vc1,c3∪{v0}所诱导的G1的子图中含有一个圈C，而v2,v4不能同时在圈的内部或外部，即v2,v4不是邻接点，于是考虑Vc2,c4={v|v∈V(G1-v0)∧a(v)=c2或c4}所诱导的子图Vc2,c4，v2,v4必属于Vc2,c4的不同的分图.做与上面类似的调整，又可得到G1的一种五着色.故对任何连通简单平面图G，G是五着色的.v1v5v4v3v2v0v1v5v4v3v2v0v1v5v4v3v2v0应用-例3:地图着色(ACMShanghai2000)算法：procedurePaint(G:Graph);找出度最小的点v0Paint(G-v0)考虑图G，若无法对v0着色，则对v0的相邻点，枚举所有点对,直到找到属于不同分图的点对，对其进行调整.任选剩下的一种颜色，对v0着色时间复杂度：O(N2)空间复杂度：O(N)总结以上例子分别论述了平面图理论在几类信息学问题中的应用。我们研究平面图就是为了更深刻地认识平面图，提高算法效率，但有时候单独应用平面图理论还不够，还需要和其它理论知识综合起来应用。然而要达到理想的效果并非一朝一夕的事情，它还需要我们平时多积累、多思考，遇到问题时才能运用自如。相信随着对平面图的研究不断深入，平面图的应用一定会更加广阔。谢谢!