算法合集之《染色法和构造法在棋盘上的应用》

本资料由-大学生创业|创业|创业网提供资料在线代理|网页代理|代理网页|减肥药排行榜|淘宝最好的减肥药|什么减肥药效果最好|减肥瘦身药|棋盘的覆盖（1）同行覆盖（2）异性覆盖（3）小结3马的遍历（1）马的哈密尔顿链（2）马的哈密尔顿圈4其它问题（1）Warmworld（2）删除数字5结语棋盘：所谓m*n棋盘，指由m行n列方格构成的m*n矩形。每个方格成为棋盘的格，位于第i行j列的格记为a(i,j)。当i+j为奇（偶）数时，称aij为奇（偶）格。染色法：用不同颜色将棋盘格子进行染色，起到分类的效果。特别地，类似国际象棋盘上的黑白二染色，我们称之为“自然染色”。构造法：直接列举出某种满足条件的数学对象或反例导致结论的肯定与否定，或间接构造某种对应关系，使问题根据需要进行转化的方法，称之为构造法。棋盘的覆盖指用若干图形去覆盖m*n的棋盘。覆盖的每个图形也由若干格子组成，称为覆盖形。约定任两个覆盖形互不重叠，任一覆盖形中任一格总与棋盘上某格重合。按覆盖效果，可分为完全覆盖、饱和覆盖、无缝覆盖和互异覆盖。（只讨论）完全覆盖：各个覆盖形的总格子数等于棋盘的总格子数按覆盖形分，可分为同行覆盖和异型覆盖。同形覆盖：只有一种覆盖形；异型覆盖：有多种覆盖形同形覆盖例1给出m,n,k，试用若干1*k的矩形覆盖m*n的棋盘。分析：定理1m*n棋盘存在1*k矩形的完全覆盖的充分必要条件是k|m或k|n。本资料由-大学生创业|创业|创业网提供资料在线代理|网页代理|代理网页|减肥药排行榜|淘宝最好的减肥药|什么减肥药效果最好|减肥瘦身药|证明：充分性是显然的。用构造法。当k|n时，每一行用n/k个1*k的矩形恰好完全覆盖。K|m情况类似。必要性：设m=m1*k+r,0rk设n=n1*k+s,0sk约定r=s由上面的定理1，可彻底解决m*n棋盘的p*q矩形完全覆盖问题定理2m*n棋盘存在p*q矩形的完全覆盖充分必要条件是m,n满足下列条件之一：（i）p|x且q|y（ii）p|x,q|x,且存在自然数a,b，使y=ap+bq其中{x,y}={m,n}异型覆盖例2设有m*n的棋盘，当m*n为奇数时，尝试删去一个格子，剩下部分用若干1*2的矩形覆盖；当m*n为偶数时，尝试删去两个格子，剩下部分用若干1*2的矩形覆盖。分析：(1)先来考虑m*n为奇数的情况一方面，将棋盘自然染色。无论怎么放，一个1*2的矩形必盖住一个黑格和一个白格，而棋盘上的黑格比白格多1，于是只能去掉一个黑格(即偶格)123…K123…k……123…S234…1234…1……234…S+134……234……2……34……:::::::……:::K1……k-1K1……k-1……k1……S+k-1123…K123…K……123…S234…1234…1……234…S+134……234……2……34……::::::::::K1……k-1K1……k-1……k1……S+k-1::::::::::::::::::::……::::::::::123…K123…K……123…S234…1234…1……234…S+134……234……2……34……:::::::……:::Rr+1……R+k-1r………r+k-1……Rr+1……r+s-1本资料由-大学生创业|创业|创业网提供资料在线代理|网页代理|代理网页|减肥药排行榜|淘宝最好的减肥药|什么减肥药效果最好|减肥瘦身药|另一方面，设去掉偶格为a(i,j)，用构造法必能得到可行解1）I与j同为奇数2）I与j同为偶数2314（2）再考虑m*n为偶数的情况类似地，由自然染色法得知，去掉的两格必定异色，即一个奇格，一个偶格（不然两种格子总数不等）另一方面，用构造法，将用一些粗线将棋盘隔成宽为1的长条路线，使从任一格出发可以不重复地走遍棋盘并回到出发点。BA针对染色法，上面的例子都是利用“各类颜色格子总数必须相等”这一条件推出矛盾，但又些时候，只考虑这个条件是不够充分的。例38*8棋盘剪去哪个方格才能用21个1*3的矩形覆盖？分析：2314本资料由-大学生创业|创业|创业网提供资料在线代理|网页代理|代理网页|减肥药排行榜|淘宝最好的减肥药|什么减肥药效果最好|减肥瘦身药|蓝色：21个白色：22个黑色：21个考虑到对称性，只有剪去a(3,3)、a(3,6)、a(6,3)、a(6,7)中的某一个才能满足题意。小结覆盖类问题其实是一个难度较大的课题，这里只讨论了一些简单的情况，以说明染色法与构造法的应用需要补充的是，染色法的种类形形色色、五花八门。考虑到可推广性和易操作性，本文只着重研究了“间隔染色法”（即自然染色法的推广）马的遍历马行走规则：从2*3的矩形一个角按对角线跳到另一个角上棋盘中马的遍历问题分两类(1)马的哈密尔顿链(2)马的哈密尔顿圈马的哈氏链通常有四种方法1贪心法——每一步跳向度最小的点2分治法——将棋盘分成几个小棋盘，分别找哈氏链，再连接起来3镶边法——先在一个小棋盘中找到哈氏链，然后在棋盘四周镶边，已产生大棋盘的哈氏链。按上述方法不难得到下面结论n*n棋盘存在哈氏链的充要条件是n3。马的哈氏圈例4求n*n棋盘的哈氏圈分析将棋盘自然染色，考察无解情况。马无论怎么走，都必须按黑格－白格－黑格－白格．．．．．．如此循环。由于要回到起点（起点与终点同色），途经两种颜色的格子数必相等，可知n为奇数时无解。因为大小限制，n6时也无解当n=6且为偶数时，用镶边法构造假设(n-4)*(n-4)的棋盘已找到哈氏圈1）n除以4余2时，在内矩形四个角（A、E、I、M）上分别开口。本资料由-大学生创业|创业|创业网提供资料在线代理|网页代理|代理网页|减肥药排行榜|淘宝最好的减肥药|什么减肥药效果最好|减肥瘦身药|所在的外回路与“内矩形”的回路在A、B上对接，变成A-C-．．．-D-B。2将G与H所在的外回路与“内矩形”的回路在E、F上对接，变成E-G-．．．-H-F。3将K与L所在的外回路与“内矩形”的回路在I、J上对接，变成I-K-．．．-L-J。4将O与P所在的外回路与“内矩形”的回路在M、N上对接，变成M-O-．．．-P-N。{在这里，要注意一个问题，就是作为基础矩形的“内矩形”的回路，首先要满足：A的下一步到B，E的下一步到F，I的下一步到J，M的下一步到N。只有这样，构造成的新矩形才能继续作为“内矩形”按上述规则向外扩展。现给出满足要求的基础矩形的一组解（N=6）}2）n除以4余0时在内矩形四个角（A、E、I、M）上分别开口。CODPAMBNFJEIHLGK1将C与D所在的外回路与“内矩形”的回路在A、B上对接，变成A-C-．．．-D-B。2将G与H所在的外回路与“内矩形”的回路在E、F上对接，变成E-G-．．．-H-F。3将K与L所在的外回路与“内矩形”的回路在I、J上对接，变成I-K-．．．-L-J。4将O与P所在的外回路与“内矩形”的回路在M、N上对接，变成M-O-．．．-P-N。一个猜想：m*n（m=n）棋盘不存在哈氏圈的充要条件是：m,n满足下列条件之一（1）m,n都是奇数（2）m=1,2或4CODPAMBNFJEIHLGK11619267420252518271526178362421321128935142330331222313413102915447384952312646392533227225155643748350253040455633282342163366144572029246041341512581935624358171013642591611147189本资料由-大学生创业|创业|创业网提供资料在线代理|网页代理|代理网页|减肥药排行榜|淘宝最好的减肥药|什么减肥药效果最好|减肥瘦身药|（3）m=3且n=4,6,8其它应用例5蠕虫世界（Uva）蠕虫在一张N*N的网上爬行。每个网格上有一个数字，蠕虫不能经过相同的数字两次。开始的时候，蠕虫任意选择一个格子作为起始点。它爬行只能沿水平或竖直方向，且不能超出网外。蠕虫如何移动才能到达尽可能多的网格呢？下面是一个样例。分析：采用“染色法”贪心出一个上界。1自然染色2设Tfree,Tblack,Twhite分别记录三类格子数量对每一种数字（1，2，3……）分析1）只存在标有该数字的白色格子，TwhiteTwhite+12）只存在标有该数字的黑色格子，TblackTblack+13）存在标有该数字的黑白两色格子，TfreeTfree+13估价上界)TblackTfreeTwhite(TfreeTwhiteTblack)TblackTfreeTwhite(12*)TfreeTwhite(maxL(假设Twhite=Tbalck,否则交换即可)结语存在性问题——〉染色法可行性问题——〉构造法在以棋盘为模型的问题中，综合运用这两种方法，双管齐下，往往能收到事半功倍的效果！谢谢