流体力学-基本方程1

第二章流体力学的基本方程•研究流体运动的方法•流体运动的基本概念•连续性方程•流体微团的运动分析•理想流体运动微分方程流体静力学•伯努利方程•动量方程和动量矩方程第一节研究流体运动的方法流场——充满运动流体的空间称为流场流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动和物性的参数（速度、加速度、压强、密度等）在流场中也是连续的。并且随时间和空间而变化。连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。假如你是一名篮球教练，防守中该如何掌控整个篮球场？盯人战术联防战术用五名己方球员分别对对方球员进行一对一的跟踪防守。用己方五名球员对防守半场进行分区监管，一人负责一片区域的防守。布哨跟踪？？？请问如何获取某对方球员的行踪？拉格朗日法欧拉法着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性布哨跟踪根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动也有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。拉格朗日法着眼于流体质点跟踪个别流体质点研究其位移、速度、加速度等随时间的变化情况综合流场中所有流体质点的运动流场分布又称随体法跟踪个别流体质点(a,b,c)质点从(a,b,c)运动到（x,y,z）t0时刻:t时刻:流场中全部质点都包含在（a,b,c）的变数中(a,b,c)是拉格朗日变数，即t=t0时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。(,,,)rrabct(,,,)(,,,)(,,,)xxabctyyabctzzabct(,,,)xxabctVt(,,,)yyabctVt(,,,)zzabctVt(,,,)rabctVt流体质点的速度22(,,,)xxxabctaVt22(,,,)yyyabctaVt22(,,,)zzzabctaVt22(,,,)rabctaVt流体质点的加速度同样，流体质点的密度、压强和温度也是拉格朗日变数（a,b,c,t）的函数),,,(tcbapp),,,(tcba),,,(tcbaTT欧拉法着眼于研究空间固定点的情况选定某一空间固定点记录其位移、速度、加速度等随时间的变化情况综合流场中许多空间点随时间的变化情况通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。流场分布欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量(,,,)xyzt(,,,)ppxyzt(,,,)TTxyzt密度温度压强(,)vvrt(,,,)yyVVxyzt(,,,)xxVVxyzt(,,,)zzVVxyzt在直角坐标系中:速度(,,,)xyzt称为欧拉变数3.在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。欧拉法的优越性：1.利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。2.采用欧拉法，加速度是一阶导数；而拉格朗日法，加速度是二阶导数。所得的运动微分方程，分别是一阶偏微分方程、和二阶偏微分方程。在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。拉格朗日法欧拉法同时描述所有质点的瞬时参数分别描述有限质点的轨迹表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法两种方法的比较随体导数及随体加速度,,',,,,',VMtVMttMt设此质点在场内运动,其运动轨迹为L,在t时刻位于M点,速度为过了后该质点运动到点速度为根据定义加速度的表达式为MM’LMM’L,VVrt定义流速场中的加速度:.MM如图点的加速度就是此时过点的流体质点的加速度.通过流场中的加速度的定义说明什么是随体导数0(',)(,)limtDVVMttVMtDtt0(',)(,)limtDVVMttVMtDttMM’LMM’LDDt这里用表示这种导数不同于牛顿定律对速度的简单导数速度的变化有两方面的原因:',,MM一方面的原因质点由点运动至点时时间过去了t,由于场的时间非定常性引起速度的变化',,MM另一方面质点由点运动至点时位置发生了变化,由于场的空间不均匀性引起速度的变化0(',)(',)limtVMttVMtt0'limtMMt'0(',)(,)lim'MMVMtVMtMM按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分MM’LMM’L0(',)(',)limtVMttVMtt0(',)(,)limtVMtVMtt0(',)(,)limtDVVMttVMtDtt场的非定常性场的不均匀性0(',)(',)limtDVVMttVMtDtt0'limtMMt'0(',)(,)lim'MMVMtVMtMM0'tMM第一项当时0(',)(',)(,)limtVMttVMtVMttt这一项表示场的非定常性引起速度的局部导数或当变化,称为地导数.'MM第二项当时00'(',)(,)limlim'tMMMMVMtVMttMM(,)VMtVs它代表场的不均匀性引起的速度变迁移导数或对化,称为流导数.VSs其中代表沿方向移动单位长度引起的速度变化.DVVVVDtts总的加速度即为局部导数与迁移导数之和,称为随体导数.sL其中是上单位切矢量.或称为随流导数、物质导数（substantialderivative）、质点导数（particlederivative），也称全导数。Vs()sV()VVVsVs所以()DVVVVDtt()VV()DVVVVDttxxDVVDttyyyyyxyzDVVVVVVVVDttxyzzzzzzxyzDVVVVVVVVDttxyzxxVVxxyVVyxzVVz在直角坐标系中展开为:随体加速度=当地加速度+迁移加速度()DaaVaDtt()DVDtt.ddt今后在不至引起混淆的时侯,用表示全导数对速度求导,分为局部导数和迁移导数之和的做法,也适用于对其它量求导.()daaVadtt()daaVadtt()dVdtt()dVdtt??矢量标量例子()DVDttuvwtxyz◆流体不可压是指流体质点的密度运动过程中不变，即const◆若流体既均质，同时不可压，则00DDt0DDt0t流体密度场定常，其不是空间坐标和时间的函数，即0质点全导数：0t0)(v——定常流动；——均匀流动)(vtdtd迁移导数当地导数全导数若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为定常（恒定）流。否则，为非定常（非恒定）流。若某一时刻流场中各空间点上的物理量都相等，则称均匀场（流），否则为非均匀场（流）。【例】已知用拉格朗日变量表示得速度分布为u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0时，x=a，y=b。求（1）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规律；（3）质点加速度。【解】将上式积分，得上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2，c2=-22)2(teatx2)2(tebty12)2(cteaxt22)2(ctebytX=(a+2)et-2t-2y=(b+2)et-2t-2（1）将t=3代入上式得X=(a+2)e3-8y=(b+2)e3-8（2）a=2，b=2时x=4et-2t-2y=4et-2t-2(3)teatu)2(tebtv)2(【例】在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？【解】ttttxu10)5(dddd2txxxttvdd12525ddddy23221010)5(125ttt10tuax430ttvay1.系统(1)定义(2)特点系统运动时，其位置、形状都可能发生变化，但系统质量守恒2.控制体(1)定义(2)特点与系统不同，控制体只是一个框架，控制体表面可以有质量交换无数个确定的流体质点的集合。流体通过的流场中的某一确定的空间区域，这个区域的边界面为控制面。系统和控制体系统与控制体第二节流体运动的基本概念一、一维流动、二维流动和三维流动一维流动：流动参数是一个坐标的函数；二维流动：流动参数是两个坐标的函数；三维流动：流动参数是三个坐标的函数。对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简化为二维、甚至一维流动，可以使得求解过程尽可能简化。二维流动→一维流动三维流动→二维流动迹线——流体质点的运动轨迹线。属拉格朗日法的研究内容。给定速度场，流体质点经过时间移动了距离，该质点的迹线微分方程为起始时刻时质点的坐标，积分得该质点的迹线方程。kjirtcbaztcbaytcbax,,,,,,,,,tzyx,,,vdtrddtdvrdttzyxvdztzyxvdytzyxvdxzyx,,,,,,,,,0ttcba,,二、迹线和流线流线——速度场的矢量线。任一时刻t，曲线上每一点处的切向量都与该点的速度向量相切。流线微分方程：kjirdzdydxdtzyx,,,v0vrd),,,(),,,(),,,(tzyxvdztzyxvdytzyxvdxzyx流线的几个性质：在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。流线密集的地方流体流动的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。迹线和流线的差别：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应；流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线组成的管状表面。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。流束——充满流管的一束流体。微元流束——截面积无穷小的流束。微元流束的极限是流线。微元流束和流线的差别：流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等等；流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。总流——截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。三、流管和流束四、缓变流和急变流缓变流——流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行直线的流动。否则即为急变流。流体在直管道内的流动为缓变流，在管道截面积变化剧烈、流动方向发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变流。五、有效截面流量平均流速有效截面——在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。AnAAvdAvdAnvvq),cos(dAv体积流量（）：sm/3skg/质量流量（）：流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。质量流量（）：体积流量（）：sm/3质量流量（）：质量流量（）：质量流量（）：体积流量（）：sm/3质量流量（）：AnAAmdAvdAnvvq),cos(dAv平均流速——体积流量与有效截面积之比值。一般地不加下标a，直接用v