矩形薄板的几种解法

弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为00x,2200xx。0xa，220xax。00y，2200yy。纳维把挠度的表达式取为如下的重三角级数：11sinsinnmnmnmxnyAab，（a）其中m和n都是任意正整数。显然，上列的边界条件都能满足。将式（a）代入弹性曲面微分方程D∇4w=q，得到为了求出系数mnA，须将式（b）右边的q展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmnmnmxnyqDCab。（c）现在来求出式（c）中的系数mnC。将式（c）左右两边都乘以sinixa，其中的i为任意正整数，然后对x积分，从0到a，注意0sinsinamxiydxaa{0，(𝓂≠𝒾)𝒶/2，(𝓂=𝒾)就得到01sinsin2ainniyanyqdxCab。0yb220yby22242211sinsinb nmnmnmxnyDqabab。（）OABxyab再将此式的左右两边都乘以sinjxa，其中的j也是任意正整数，然后对y积分，从0到b，注意sinsinbonyjydybb{0，(𝓃≠j)b/2，(𝓃=j)就得到因为i和j式任意正整数，可以分别换为m和n，所以上式可以换写为00sinsin4abmnmxnyabqdxdyCab解出mnC，代入式（c）,得到q的展式。（13-25）与式（b）对比，即得当薄板受均布荷载时，q成为常量0q，式（d）积分式成为000000002sinsin=qsinsin1cos1cosababmxnyqdxdyabmxnyqdxdyabqabmnmn于是由式（d）得到022262241cos1cosmnmnqmnAmnDab或0222622161,3,5,;1,3,5, mnmnqAmnmnDab。代入式（a），即得挠度的表达式00sinsin4abijixjyabqdxdyCab0011sinsinsinsin4abmnabmxnymxnyqqdxdyabab002224224sinsin=abmnmxnyqdxdyabAmnabDab0026221,3,5,1,3,5,22sinsin16mnnxmyqqabDmnmnab由此可以用公式,,,1,`,22222222222wxDFwxDFyxwDMMxwywDMywxwDMSxSxyzxyyx求得内力。当薄板在任意一点（，）受集中荷载F时，可以用微分面积dxdy上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q。于是，式（d）中的q除了在（，）处的微分面积上等于Fdxdy以外其余各处都等于零。因此，式（d）成为2224222224224sinsin4sinsinmnFmnAdxdydxdyabmnabDabFmnabmnabDab。代入式（a），即得挠度的表达式24221122sinsin4sinsinmnmnFmxnyababDabmnab，值得指出：当x及y分别等于及时，各个内力的级数表达式都不收敛（这是可以预见的，因为在集中荷载作用处，应力是无限大的，从而内力也是无限大），但挠度的级数表达式（e）仍然收敛于有限打的确定值。显然，如果在式（e）中命x和y等于常量而把和当做变量，并取1F，则该式的将成为（,xy）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动时，该点的挠度变化率。同样。在由式（e）对x及y求导而得到的内力表达式中，命x和y等于常量并取1F，则各该表达式将成为在（,xy）点的各该内力的影响函数。本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简单。它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载，也不能有沉陷引起的挠度。它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。二：莱维解法对于有两个对边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱维解法。设图13-18所示的矩形薄板具有两个简支边0x及xa，其余两边/2yb式任意边，承受任意横向荷载q。莱维把挠度的表达式取为如下的单三角级数：1sinmmmxYa其中mY是的任意函数，而m为任意正整数。极易看出，级数（a）能满足0x及xa两边的边界条件。因此，只需选择函数mY，使式（a）能满足弹性曲面的微分方程，即：4/qD（b）图13-8并在/2yb的两边上满足边界条件。将式（a）代入（b），得24424212sinmmmdYdYmmmxqdyadyaaD。（c）现在须将式（c）右边的/qD展为sinmxa的级数。按照傅里叶级数展开式的法则，得012sinsinamqqmxmxdxDaDaa。Ob/2xb/2a与式（c）对比，可见244242022sinammmdYdYmmmxYqdxdyadyaaDa（d）这一常微分方程的解答可以写成coshsinhmmmmymymyYABaaasinhcoshmmmmymymyCDfyaaa其中()mfy是任意一个特解，可以按照式（d）右边积分以后的结果来选择；mA、mB、mC、mD是任意常数，决定于/2yb两边的边界条件。将上式代入式（a），即得挠度w的表达式Dmmyπacoshmyπa+fm(y)]sinmxπa(e)作为例题，设图13—8中的矩形薄板是四边简支的，受有均布荷载q=qo。这时，微分方程（d）的右边成为于是微分方程（d)的特解可以取为.带入式（e），并注意薄板的挠度w应当是y的偶函数，因而有Cm=0，Dm=0，得。（f）应用边界条件，由式（f)得出决定Am及Bm的联立方程aymCaymaymBaymAmmmsinhsinhcoshw1mmDmqdxaxmaDacos12sinq2000mDmaqmDmqmayfmcos12cos125540041msinhcoshwaymaymBaymAmmaxmmDmsincos1aq255400w2by0222byyw...5,3,1,0sinh2cos,04sincos5540mBaaBAhaDaqBhaaAhammmmmmmmmmm或者,（m=2,4,6.。。）其中。求得Am及Bm，得出，；（m=1,3,5.。。）或者得出（2,4,6.。。）将求出的系数带入式（f），得挠度w的最后表达式（g）并可以从而求得内力的表达式。最大挠度的、发生在薄板的中心。将及代入公式（g），即得这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板，，，得出在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。但是，在其他各点的挠度表达式中，级数收敛就没有这样快。在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷载时的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。三：一般解法此外在§13-5中已经给出这种薄板在某角点发生沉陷时的解答。于是可得矩形薄板的一个一般解法，说明如下。0sinh2cos0sinhcosmmmmmmmmmBaBAhaBaAhaabmm2ammmmaDmaqaaAcoshtanh225540maDmaqBcosh25540m00mmBA，2ax0yab2ammam2sinham2ybsinh2yamb)sinmxπabyaaaamDaqmmmmm2coshcosh2tanh2114w..5,3,15540mmmmmaaamDaqwcosh2tanh2114...5,3,1521540maxDaqoDaqw40540max00406.0)004.314.0(4采用结构力学中的力法。位移法，或混合法，以四边简支的户型薄板为基本系。对于任一夹支边，以该边上的分布弯矩为一个未知数（具有特定系数的级数）；对于任一自由边，以该边上的挠度为一个位置函数（具有特定系数级数）；对于两自由边相交而又无支柱的角点，还须以该角点的沉陷为一个未知值，应用上面所述的解答，求出夹边上的法线斜率，自由边上的分布反力，以及二自由边交点处的集中反力（当然是用上述待定系数及未知值以及已知荷载来表示），命夹边上的法向斜率等于零，自由边上的分布反力等于零，两自由边交点处的集中反力等于零，即得足够的方程来求解各个待定系数及未知值，从而求得薄板最后的挠度，斜率，内力和反力。当然，求解时的运算是很繁琐的。在工程设计中，一般总是利用现成的图表，或是采用各种数值解对于在各种边界条件下承受各种横向荷载的矩形薄板，很多专著和手册中给出了关于挠度和弯矩的表格或图线，可供工程设计之用。为了节省篇幅，对于只具有简支边和夹支边而不具有自由边的矩形薄板，在矩形的表格或图线中大都给出泊松比等于某一指定数值时的弯矩。但是，我们极易由此求得泊松比等于任一其他数值时的弯矩，说明如下。薄板的弹性曲面微分方程可以写成夹支边及简支边的边界条件不外乎如下形式：把Dw看作基本未知函数，则显而易见，Dw的微分方程及边界条件中都不包含泊松比，因而Dw的解答不会包含泊松比，于是及都不随泊松比而变。现在，根据公式（13-12），当泊松比为时，弯矩为（h）当泊松比为时，弯矩为Dwx22Dwy22；，DwDwMDwyDwxM2222y2222xx-y---。qDw4;0,0,0;0,0,01111112222yyyyyyxxxxxxDwyDwyDwDwxDwxDw（i）由式（h）解出及，然后代入式（i），得到关系式（13-26)于是可见，如果已知泊松比为µ时的弯矩MX及MY，就很容易求得泊松比为µ时的弯矩MX及MY。在µ=0的情况下（表格或图线所示的MX及MY是取µ=0而算出的），上式简化为（13-27）注意，如果薄板具有自由边，则由于自由边的边界条件方程中包含着泊松比，因而Dw的解答将随泊松比而变。于是，式（h)中的Dw与式（i）中的Dw-般并不相同，因而就得不出关系式（13-26）及（13-27）。；，DwDwMDwyDwxM2222y2222xx-y---Dwx22Dw22y。，x2y2111111MMMMMMyyXXXyyyXXMMMMMM,