矩阵理论及应用4

2019/12/20电子信息工程学院1第七节两个特殊的线性空间一欧氏空间1、欧氏空间的定义与性质定义1.7.1（内积和欧氏空间）VVxy),(yx设是实数域上的线性空间，若对于中的任意两个向量和，按某种规则，恒有惟一的一个实数与之对应，用记号表示，且满足),(),(xyyx),(),(yxkykx),(),(),(zyzxzyx0),(xx0x0),(xx1、交换率：2、齐次率：4、正定率：，当且仅当时3、分配率：xyzVk),(yxxy这里，、和是中任意向量，是任意的实数，则称为向量和的内积。定义了内积的实数域上的线性空间称为Euclid空间，简称欧氏空间或实内积空间。2019/12/20电子信息工程学院2第七节两个特殊的线性空间例1.7.2n2nnnR)(ijaAnnijRbB)(在实数域上的维方阵按通常的矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成的维实线性空间中，若对任意两个矩阵，，规定)(),(1,TnjiijijABtrbaBA它满足内积的4条规则，因此上式是内积，nnR为欧氏空间。例1.7.1nnR在实数域上的维向量空间中，若对任意两个向量),,(21nx),,(21ny规定（1）Tnnxyyx2211),(（2）nnnyx22112),(验证它们满足内积的4条规则。因此上式是内积，为欧氏空间。nR2019/12/20电子信息工程学院3第七节两个特殊的线性空间内积的基本性质：例1.7.3],[ba],[baC)(xf)(xg定义在区间上的连续的一元实函数所构成的线性空间中若对它的任意两个连续函数和，规定dxxgxfxgxfba)()())(),((则由定积分的性质，容易验证，它满足内积的4条规则，因此上式是内积，],[baC构成欧氏空间。),(),(yxkkyx（1）0),0()0,(xx（2）),(),(1,11jijnjiijnjjiniiyxyx（3）2019/12/20电子信息工程学院4第七节两个特殊的线性空间2、度量矩阵),,2,1,(,),(),(njixxxxijji对称矩阵nxxx,,,21nnRnR设是维欧氏空间的基，对于中的任意两个向量nnxxxx2211nnxxxy2211jnjiiijjijnjiiaxxyx1,1,),(),(),,2,1,(,),(njixxajiijnnAyx2121),,,(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxA其中AnRnxxx,,,21称矩阵为对于基的度量矩阵（或Gram矩阵）。0),(xx0x正定矩阵2019/12/20电子信息工程学院5第七节两个特殊的线性空间例1.7.4nxxx,,,21nyyy,,,21nnRnR)(ijaA)(ijbB设和是维欧氏空间的两个基，且对于这两个基的度量矩阵分别为和。AB求证：与合同，即不同基的度量矩阵是合同的。证明：Cxxxyyynn),,,(),,,(2121设),,2,1(,2211nixcxcxcynniiii),,2,1,(,),,,(),(),(212111njicccAcccxxccyynjjjniiinsnllsljsijiACCBT2019/12/20电子信息工程学院6第七节两个特殊的线性空间3、欧氏空间中两向量的长度和夹角在解析几何中,三维空间的向量321x其向量的长度表示为232221x两向量321x321y的夹角cos332211yxyxyxyxcos三维空间中的向量及其夹角xy2019/12/20电子信息工程学院7第七节两个特殊的线性空间在欧氏空间中，内积具有其正定性，即且0),(xx00),(xxx),(232221xxxx如在上述三维向量空间中，向量的长度可以表示为Tnnxyyx2211),(其内积的定义为nR在以后的讨论中，如无特殊的声明，在实向量空间中都采用此内积定义。定义1.7.2（欧氏空间中向量的长度）V),(xxVxxx在欧氏空间中，非负实数称为中向量的长度（或模，范数），记为（或），即),(xxx1xxxxxyyxx若，则称为单位向量。对于任意的非零向量，可取，则是与线性相关（同方向）的单位向量。通常称此过程为向量的单位化或规范化。2019/12/20电子信息工程学院8第七节两个特殊的线性空间向量长度的性质：0x00xx（1），且；Rkxkxxkkxkxkx),(),(2（2）对任意的，；Vyx,)(22222yxyxyx（3）对任意的，有；（四边形法则）Vyx,yxyxyxyx（4）对任意的，，；（三角法则）Vyx,yxyx),(xy（5）对任意的，有，且等号成立的充分必要条件是与线性相关。（Cauchy不等式）证明：证（3）：)(2),(2),(2),(),(2222yxyyxxyxyxyxyxyxyx2019/12/20电子信息工程学院9第七节两个特殊的线性空间证（5）分两种情况：xy第一种情况：与线性相关的情况kxy2222),(),(),(xxkkxxyx22),(),)(,(),)(,(xxkkxkxxxyyxx),)(,(),(2yyxxyxxy第二种情况：与线性无关的情况：Rt0tyx对于任意的，有，因此有0),(tyxtyx0),(),(2),(),(2xxtyxtyytyxtyx上式为关于的实系数的一元二次多项式，要是其恒大于零，则有t0),)(,(4),(42yyxxyx),)(,(),(2yyxxyx2019/12/20电子信息工程学院10第七节两个特殊的线性空间),)(,(),(2yyxxyxyxyx),(xy总结上述两种情况，得，即，且等号成立的充分必要条件是与线性相关。证（4）：对任意，有Vyx,222222)(2),(2),(),(2),(),(yxyyxxyyxxyyyxxxyxyxyxyxyx222222)(2),(2),(),(2),(),(yxyyxxyyxxyyyxxxyxyxyxyxyx2019/12/20电子信息工程学院11第七节两个特殊的线性空间1),(yxyx由上述性质（5）（Cauchy不等式）可知（欧氏空间中两向量的夹角和距离）定义1.7.3Vxyyx,在中任意两个非零向量与的夹角定义为yxyxyxyx,0,),(arccos,xy),(yxd与的距离定义为yxyxd),(（由长度导出的距离）2019/12/20电子信息工程学院12第七节两个特殊的线性空间4、正交性与标准正交基（两向量的正交或垂直）定义1.7.4xy0),(yxxyyx对于欧氏空间中的两个向量与，有，则称与正交或垂直，记为。例1.7.5),(对定义在区间上的三角函数组，,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1ktkttttt由内积dttgtftgtf)()())(),((不难验证其中任意两个函数互相正交。2019/12/20电子信息工程学院13第七节两个特殊的线性空间（正交向量组）定义1.7.5如果欧氏空间中的一组非零向量两两正交，则称为正交向量组。xy222yxyx例1.7.6已知两向量与正交，证明。xy0),(yx证明：由于向量与正交，，因此222),(),(2),(),(yxyyyxxxyxyxyxnxxx,,,2122221221nnxxxxxx上式可以推广到多个向量的情形，即向量组是正交向量组，则有2019/12/20电子信息工程学院14第七节两个特殊的线性空间nxxx,,,21定理1.7.1设是正交向量组，则它们必线性无关。证明：应用反正法，先假设它们是线性相关的，则存在一组不全为零的实数nkkk,,,21，使得02211nnxkxkxk)(0),(jixxji由于),,2,1(0),(nixxkiii),,2,1(0niki因此必线性无关。nxxx,,,21（正交基）定义1.7.6在欧氏空间中，由个非零向量组成的正交向量组称为的正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基（或法正交基）。nVnnVnxxx,,,21对于标准正交基，有jijixxijji,0,1),(因此，标准正交基下的度量矩阵为单位矩阵。2019/12/20电子信息工程学院15第七节两个特殊的线性空间nxxx,,,21nVnVx若是的标准正交基，则对于中的任意向量nnxxxx2211iixx),(nnxxxxxxxxxx),(),(),(2211向量的坐标可以通过内积表达出来，因此有定理1.7.2nxxx,,,21nVnVn,,,21),,2,1)(,,,(),,,(2121niSpanxxxSpanii设是欧氏空间的一个基，则可以找到的一个标准正交基，使得Gram—Schmidt正交化方法证明：11xy（1）令作为所求正交基中的第一个向量。122kyxy0),(12yyk（2）令，由正交条件来确定待定系数。0),(),(),(),(111211212yykyxykyxyy),(),(1112yyyxk2019/12/20电子信息工程学院16第七节两个特殊的线性空间1111222),(),(yyyyxxy112233ykykxy0),(13yy0),(23yy1k2k（3）令，再由正交条件和来确定待定系数和。0),(),(),(),(1111311122313yykyxyykykxyy0),(),(),(),(2222321122323yykyxyykykxyy),(),(11131yyyxk),(),(22232yyyxk，（4）以此类推，可得111132222333),(),(),(),(yyyyxyyyyxxy111122221111),(),(),(),(),(),(yyyyxyyyyxyyyyxxymmmmmmmmmniyyiii,,2,1,n,,,21nV（5）取。即为的一个标准正交基。2019/12/20电子信息工程学院17第七节两个特殊的线性空间解：例1.7.74R将欧氏空间中的向量组00111x01012x10013x11114x，，，化为标准正交向量组。Txy]0011[11TTTyyyyxxy0121210011210101),(),(1111222Tyyyyxyyyyxxy1313131),(),(),(),(111132222333Tyyyyxyyyyxyyyyxxy1111),(),(),(),(),(),(111142222433434442019/12/20电子信息工程学院18第七节两个特殊的线性空间4321,,,yyyy将单位化可得：002121111yy