矩阵的判定条件

第1页（共11页）关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract:Thepositivedefinitenessofmatrixisanimportantconceptintheoryofthematrix,Studyingpositivedefinitenessofthematrixisalwaysaverypopulartopicintheareaofanalysisofthematrix.Wemainlydiscussthedefinition,propertyandpositivedefinitenessofmatrixinthispaper.Thetextisdividedintotwochapters,andthefirstchapter,wemainlyexpoundthedefinitionandpropertyofthepositivedefinitenessofthematrix;thesecondchapter,wemainlydiscussdiscriminatingmethodofthedefinitionandthetheoremofthepositivedefinitenessofmatrix.Keywords:positivedefinitenessofthematrix；definition；property；discrimination1引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些第2页（共11页）相应的结论。通过对矩阵正定判定的研究，归纳与总结了正定矩阵的性质及判定，补充并完善了部分定理的条件与结论。本文提供解决正定矩阵判定问题的几种方法。让学者在学习判断矩阵的正定性时，能够深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的作用。2定义与性质2.1定义定义2.11实二次型12(,,...,)nfxxx称为正定的，如果对任意一组不全为零的实数12,,...,nccc都有12(c,c,...,c)0nf。定义2.22设nnAR，且A是n阶实对称矩阵即TAA，若0nXR，都有0TXAX，则A叫做正定矩阵。定义2.31在实二次型nxxxf,,,21的规范形中，正平方项的个数p称为nxxxf,,,21的正惯性指数，负平方项的个数pr称为nxxxf,,21的负惯性指数，它们的差rpprp2称为nxxxf,,,21的符号差。2.2性质性质2.1如果矩阵A是正定矩阵，则必有：（1）0,1,2,......,iiain；（2）A的元素的绝对值最大者必是主对角元；（3）1nnnAaA,其中1nA是A的1n阶顺序主子式；（4）1122...nnAaaa,当且仅当A为对角阵时等号成立。注2.1我们可以利用上述正定矩阵A的性质判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。例如，对角元有非正数的对称矩阵必不是正定矩阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于对称矩阵的最大者，则这个矩阵必不是正定矩阵；或若对于n阶矩阵A有：1122...nnAaaa,则A必不是正定正矩阵。第3页（共11页）例2.14判断二次型22211213223310824228fxxxxxxxxx是否正定。解二次型f对应的矩阵为33()ijAa10412421412141.显然A的元素绝对值最大者为2314a,为非对角元，则A为非正定矩阵，所以二次型也是非正定的。3正定矩阵的判定方法3.1定义判定定义3.18对于实对称矩阵A=ija（其中,,1,2,,ijaRijn）,若对于任意非零列向量X，都有0TXAX,则称A是正定矩阵。例3.17设A为正定矩阵，B为n阶实反对称矩阵，证明2AB是正定矩阵。分析这是两个矩阵之差，要证明其正定性，用定义可证。证明因为A是正定矩阵,所以TAA,且对任意n维列向量0X有0TXAX,又B是实反对称矩阵，即TBB,从而222()()TABABAB.即2AB是实对称矩阵，又对任意实n维列向量0x,有：2()()()()0TTTTTXABXXABBXXAXBXBX,故2AB是正定矩阵。例3.23设A是n阶正定矩阵，B是nm实矩阵，B的秩为m，证明：TBAB是正定矩阵。证明因为第4页（共11页）()TTTTTBABBABBAB，故TBAB是实对称矩阵，其次，由于秩,,Bmmn故0BX只有零解，因此，若任取非零实列向量X必有0BX，因A是正定矩阵，故对任取的非零实列向量X，必有()()()TTTXBABXBXABX,因此TBAB是正定矩阵。例3.35证明:A是正定矩阵，则A也是正定矩阵。证明由于A正定，所以0A，且对任意n维向量0X有0TXAX.又1AAA,从而对任意0,X有（注意TAA,且当0X时10AX）1111()()0TTTTTXAXXAAXAXAAAXAAXAAX,又因为有111()()TTTAAAAAAAA,即A实对称矩阵，故A正定矩阵。注3.1以上三个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的。还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法。具体是，若A不是方阵，也不对称时,,TTAAAA是正定矩阵，若A是方阵，但不对称，则TAA是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用。3.2定理判定定理3.11n阶实对称矩阵A正定当且仅当实二次型12(,,...,)TnfxxxXAX的正惯性指数为n。证明设实二次型12,,...,nfxxx经过非退化线性变换得2221122nnaxaxax.（3.1）由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A正定当且仅当（3.1）是正定的，由定义2知（3.1）正定当且仅当ia0(ni,,2,1)，因此正惯性指数为n。第5页（共11页）定理3.21实对角矩阵nddd21正定的充分必要条件是0id(ni,,2,1)证明由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型222121122(,,...,)...nnnfxxxdxdxdx.的正惯性指数为n，因此0(1,2,...,)idin。定理3.31实对称矩阵A是存在一实系数nn矩阵B，使得TABBA正定，其TB为B的转置。证明因为()()()TTTTTTABBAABBAABBA,所以TABBA是n阶实对称矩阵。先证必要性若秩An,则1A存在，令1BA,则111()()2TTTABBAAAAAEAAE，由此可知TABBA正定。再证充分性设TABBA正定,,0nXRX()()()0TTTTXABBAXAXBXBXAX.（*）由（*）式知0AX,这就是说，任意的0X,都有0AX,从而0AX仅有零解，所以秩An。定理3.41实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型12(,,...,)nfxxxTXAX的系数矩阵A的所有特征值都是正数，即大于零。证明由题意知，实对称矩阵A可对角化为第6页（共11页）naaa21，其中1a，,,2ana恰好是A的特征值，则二次型TXAX的标准形为：1a21x+2a22x+…+na2nx,而非退化实线性变换保持正定性不变，由222121122(,,...,)...nnnfxxxaxaxax正定，得0(1,2,...,)iain。例3.45设A为三阶实对称矩阵，且满足220AA，已知A的秩2A.则当k为何值时，矩阵AkE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。解设t为A的一个特征值，对应的特征矩阵向量为X，则AXtX,则22,(X0)AXtX。从而，22(A2A)X(t2t)X。由条件220AA，推知2(t2t)0，又由于0X，故有2,0,tt于是故矩阵A的全部特征值为122tt，30t.矩阵AkE仍为实对称矩阵.则AkE的全部特征值为2,2,kkk。于是2k时，矩阵AkE的全部特征值大于零，故AkE为正定矩阵。定理3.51实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同。证明实正定二次型的规范形为22211...nxxx.(3.2)而（3.2）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同。22,0A第7页（共11页）例3.56证明正定矩阵的行列式大于零。证明设A是一正定矩阵，因为A与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C使TTACECCC，两边取行列式，就有20TACCC。定理3.62实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C使得A=TCC。证明设A为一正定矩阵，当且仅当A与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C，使得TTACECCC。定理3.71实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零。证明先证必要性实对称矩阵A正定，则二次型12(,,...,)nfxxxTXAXninjjiijxxa11是正定的，对于每一个(1)kkn，令1211(,,...,)kknijijijfxxxaxx，我们来证kf是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数1c，2c，…，kc，有1212(,,...,)(,,...,,0,...,0)0knkfcccfccc，因此kf是一个k元正定二次型.由充要条件2得kf的矩阵行列式11110kkkkaaaa(1,2,...,)kn，再证充分性对n作数学归纳法当1n时,1()fx=11a21x,由条件11a0，显然1()fx是正定的，假定此论断对1n元二次型成立，下证n元的第8页（共11页）情形。令,X=nnnnaaa,121，则A=nnTaXXA1.由A的顺序主子式全大于零可知1A的顺序主子式全大于零，由假设1A是正定矩阵，有1n阶可逆矩阵G，使得TG1AG=1nE，令1C=100G，则TC1A1C=100TGnnTaXXA1100G=nnTTnaGXXGE1,令2C=101XGETn，则TC2TC1A1C2C=101GXETnnnTTnaGXXGE1101XGETn=XGGXaETTnnn001.令C=1C2C,a=nna-TXGTGX,则有TCAC=a11，两边取行列式得2C