矩阵的应用

矩阵在经济生活中的应用班级：电子商务151姓名：xx学号：2015xxxxxx总述：随着社会的不断发展，科技的不断进步，大学经济数学在各个方面的应用越来越广。而经济数学中的线性代数之矩阵，同样也同样有着广泛的应用。比如矩阵在生产成本、人口流动、加密解密等方面的应用。一、首先，我来阐述下矩阵的基本概念。1、由mn个数aij(i12mj12n)按一定秩序排列成的一个m行n列的矩形表称为一个m行n列的矩阵简称mn记其中，矩阵还可以分为，对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵三角形矩阵、同型矩阵等等。2、矩阵的乘法、矩阵转置、逆矩阵、行列式等知识的应用二、现在来谈谈它在生活中的应用1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了111212122212nnmmmnaaaaaaaaa解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。例1、某企业生产4种产品各种产品的季度产值(单位万元)如下表所示这个排成4行4列的矩形产值阵列结论：具体描述了这家企业各种产品各季度的产值同时也揭示了产值的季增长率及年产量等情况。使得生产数据更加简单明了，便于数据的分析和企业未来发展规划的布局与展开。例2、生产m种产品需用n种材料如果以aij表示生产第i种产品(i12m)耗用第j种材料(j12n)的定额则消耗定额可以用一个矩形表表示如下表所示80587578987085849075909088708280这个由m行n列构成的矩形消耗定额阵列结论：描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系。这矩阵是企业管理者对生产过程进行监控，然后合理地对生产过程进行调整，实现企业平稳正常地生产，达到企业的生产目标。（两例来自老师您的课件，谢谢老师）2.人口流动问题例3、假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：（1）在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万人从事工业，5万人经商；（2）在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商；（3）在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商；111212122212nnmmmnaaaaaaaaa（4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。解若用三维向量(xi,yi,zi)T表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T。而欲求(x1,y1,z1)T，(x2,y2,z2)T并考察在n→∞时(xn,yn,zn)T的发展趋势。依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为即：以(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T代入上式，即得:即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。以及即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。进而推得：0001000100017.02.01.02.07.01.01.01.08.0zyxZzyxYzyxX0000001117.02.01.02.07.01.01.01.08.0zyxAzyxZYX85.105.21111ZYX85.91.1105.190002111222zyxAzyxAZYX000111zyxAzyxAZYXnnnnnnn即n年之后从事各业人员的人数完全由决定。在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。3、应用矩阵编制Hill密码密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。在密码学中将信息代码称为密码，没有转换成密码的文字信息称为明文，把密码表示的信息称为密文。从明文转换为密文的过程叫加密，反之则为解密。现在密码学涉及很多高深的数学知识。1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。假设我们要发出“attack”这个消息。首先把每个字母a，b，c，d……x，y，z映射到数1，2，3，4……24，25，26。例如1表示a，3表示c，20表示t，11表示k，另外用0表示空格，用27表示句号等。于是可以用以下数集来表示消息“attack”：把这个消息按列写成矩阵的形式：nA11,3,1,20,20,1112032011M第一步：“加密”工作。现在任选一个三阶的可逆矩阵，例如:于是可以把将要发出的消息或者矩阵经过乘以A变成“密码”（B）后发出。第二步：“解密”。解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵A的逆矩阵A-1这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙”。当然矩阵A是通信双方都知道的。即用从密码中解出明码：通过反查字母与数字的映射，即可得到消息“attack”。210211321ABAM25602661401011120320112102113211111221101AMBA11203201125602661401011111221101在实际应用中，可以选择不同的可逆矩阵，不同的映射关系，也可以把字母对应的数字进行不同的排列得到不同的矩阵，这样就有多种加密和解密的方式，从而保证了传递信息的秘密性。上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面。可见矩阵的作用是何其强大。（例3和加密解密来自百度文库资料）三、总结通过这些实例，我知道了，矩阵来源于生活，还得应用于生活。矩阵不单纯是一数学理论，离我们不远，在社会生活中会时常涉及这些知识。所以，我们学习数学不仅仅是为了期末考试，和为了今后的个人发展。既然学了矩阵，那就必须得了解它在我们生活中应用，并且把它应用于生活，使自己的生活更美好。同时，我们可以通过结合实际，把“高高在上”的数学应用于我们平常的生活中，这样可以加深我们对于数学知识的理解与巩固，培养自己的学习兴趣。