矩阵论Jordan标准形介绍

第2章：Jordan标准形介绍JordanCanonicalForm第2章：Jordan标准形介绍问题：对线性空间中的线性变换T，求一组基{1，2，，n}和矩阵J，使T:{1，2，，n}J•矩阵J尽可能简单。•矩阵J的结构对任何变换可行内容：首选J为对角形线性变换的对角化问题。建立J一般的结构Jordan标准形理论。Jordan方法及其应用方法：用矩阵的相似化简研究问题Jordan化方法重点：2.1线性变换的对角表示背景：求基{i}，使得T(12…n)=(12…n)n21一、变换T的特征值与特征向量1.定义(p35定义2.1)(eigenvalueandeigenvector)2.求解分析：(p35定理2.1)1.(12…n)线性无关2.L{i}是不变子空间；Ti=iiA的特征值就是T的特征值A的特征向量是T的特征向量的坐标例题1(p37，例题2.1)3、特征向量的空间性质1)特征子空间：V={|T=}2)特征子空间的性质：(p36，定理2.2)Vi是不变子空间ij，则ViVi={0}若i是ki重特征值，则1dimViki推论：1)若i是单特征值，则dimVi=12)V1+V2+=Vs=V1V2Vs3)V1V2VsVn（F）二、线性变换矩阵对角化的充要条件T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。dimVi=ndimVi=kiskskk)()()(AI)(f2121定理2.4(p39)T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。例题2已知{1，2，3}是空间V3（F）的基，T是空间上如下定义的线性变换，T（1）=1T（2）=22T（3）=1+t2+23讨论：t为何值，T有对角矩阵表示例题3设，求R3上正交变换P(x)=x-(x，u)u的特征值和特征向量01121u2.2Jordan矩阵介绍目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构----Jordan矩阵。一、Jordan矩阵1.Jordan块(p40，定义2.3)1.形式：2.确定因素：3.Jordan块矩阵的例子：111)(J值矩阵的阶数20122011400040014000100010例题1下列矩阵哪些是Jordan块？1)形式：2)Jordan矩阵举例3)特点元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan矩阵)(J)(J)(Jmm21112Jordan矩阵3Jordan标准形定理2.5(p41)含义：Jordan矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB二、方阵A的Jordan标准形的求法目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA，使AP=PJA分析方法：在定理2.5的基础上逆向分析矩阵JA和P的构成。求法与步骤：skskk)()()(AI)(f2121矩阵A和JA的特征值相等)(J)(J)(JJssA2211)(JPAPiiii细分矩阵Pi和Ji，在Jordan块上，有Jordan链条{，y2，…，ynj}12320jjnniiiiyy)IA(yy)IA(y)IA()IA(特征向量广义特征向量方法步骤：由特征值i的代数重数确定主对角线元素是的i的Jordan矩阵J(i)的阶数。由特征值i对应的线性无关的特征向量的个数确定J(i)中Jordan块的个数由特征向量求得的Jordan链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA例题1(p44，例题5)例题2(p45，例题6)例题3将矩阵A化为Jordan矩阵。0100120000110043A例题4(p46，例题7)§2.3最小多项式(minimalpolynomials)讨论n阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（Cayley定理）最小多项式Jordan标准形的应用相似不变性Jordan化的方法一、矩阵多项式1.定义011m1mmmaaaa)(gIaAaAaAa)A(g011m1mmmk21AAAA)A(g)A(g)A(g)A(gk212.性质（定理2.7）•AX=0Xg(A)X=g(0)X•P-1AP=BP-1g(A)P=g(B)•3矩阵多项式g(A)的计算方法：rr111)(J)(g)(g!2)(g)(g)(g)(g)!1r()(g!2)(g)(g)(g)J(g)1r(mrg（J）的结构特点：由第一行的元素生成1211P)(J)(J)(JpAnnk121P)J(g)J(g)J(gp)A(gnnkJordan块例题1设对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。解154)(g231P2121P221367233A1P1523151P)A(g二、矩阵的化零多项式(AnnihilatingpolynomialsofMatrices)问题：AFn×n，A0，是否存在非零多项式g（），使得g(A)=0？1.化零多项式（P.52）如果g(A)=0，则g()被称为矩阵A的化零多项式。要点：矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。g（A）=0的决定因素。存在性问题。Cayley-Hamilton定理（P.52，定理、2.7）：AFn×n，f()=det(I–A)，则f(A)=0。Cayley定理的应用举例：使Ak(kn)降阶至不超过n-1次的多项式。f（0）0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换T，f(T)=0，即f（T）为零变换。三、最小多项式1定义（P.54，定义2.5）mA（）是最小多项式mA（A）=0mA（）在化零多项式中次数最低。mA（）最高次项系数是1。mA（）整除任何化零多项式2mA（）的结构：设f（）=I–A=s21rsr2r1)()()(定理2.8：mA（）=s21tst2t1)()()(iirt1定理2.9：mA（）=是i对应的Jordan块的指数。s21nsn2n1)()()(inf（）与mA（）谱相同3线性变换有对角矩阵表示的条件讨论线性变换的最小多项式定理2.10：线性变换T可以对角化的充要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积。例题1（P.56，eg10，eg11）例题2设AR4×4，mA（)=2)2()1(求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。例题3设是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。)4()2()1()(g相似问题中的一些矩阵结果1.幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（idempotent）：A2=A幂零矩阵（nilpotent）：A0，k为正整数，Ak=0乘方矩阵（involutary）：A2=IA为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。IIA为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵0Ir2(p47，例题8)设A为阶方阵，证明矩阵A和AT相似。证明思想：证明A和AT相似证明Jordan矩阵JA和JAT相似证明JA和JAT的Jordan块J和JT相似。证明方法：取逆向单位矩阵S，证明：SJ=JTS（backwardidentity）111S3、矩阵A，AT，AH和AHA设A为n阶方阵，则下列结果成立：1.矩阵A相似于矩阵AT2.矩阵A相似于矩阵AH的充要条件是矩阵的非实数特征值对应的Jordan块以共轭对出现。3.矩阵AHA相似于矩阵AAH4.设矩阵AFm×n，矩阵BFn×m，则AB和BA的非零特征值相同。讨论：若A、B都是方阵，1.AB和BA的特征多项式是否相同？2.AB和BA的最小多项式是否相同？3.AB和BA是否相似？第1章习题选讲要点：线性空间的表示形式：集合表示形式：Vn（F）=｛满足的性质｝向量生成形式：L{1，2，···，m}子空间类型：L{1，2，···，m}W1＋W2矩阵AFm×n，两个子空间不变子空间线性变换：1.线性变换的表示2.线性变换的数量关系3.重要的线性变换