矩阵论之矩阵的分解

矩阵的分解一、矩阵的三角分解定义3.1设.nnAF(1)若,nnLUF分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,ALU则称A可作LU分解。(2)若,nnLUF分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D为对角矩阵。,ALDU则称A可作LDU分解。用Gauss消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i行乘以数k加到第j行（ij）型初等变换就能把A化为上三角矩阵U，则有下三角形可逆矩阵,P使,PAU从而有LU分解：1.APU例1设223477245A，求A的LU分解和LDU分解。解为求,P对下面的矩阵做如下行初等变换：3223100223100()477010031210245001068101223100031210006521AI因此100223210,031521006PPA.令1100223210,031121006LPU则223031.006ALLU再利用初等变换，有31121002121030131216001A就得到ALDU其中311210021210,3,0131216001LDU一般来说，,LULDU分解一般不是惟一的。下面讨论方阵的LU和LDU分解的存在性和唯一性。定理3.1设(),nnijnnAaF则A有惟一LDU分解ALDU的充分必要条件是A的顺序主子式1112121222012......0,1,2,...,;1,...............kkkkkkkaaaaaaknaaa其中121,;1,2,...,...kkknddDdknd证明：只证充分性：对A的阶数n进行归纳证明11111111,()(1)()(1)nAaaLDU所以定理对1n成立，设定理对1n成立，即(1)(1)111()ijnnnnnAaLDU则对,n将A分块成1nnTnnnAAua其中121,12,1(,,...,),(,,...,),TTnnnnnnnnnnaaauaaa设111100,1001nnnnnnTTnnnnnALDVvuald比较两边，则有1111,nnnnALDU(3.1)11nnnnLDv(3.2)11TTnnnnulDU(3.3)1TnnnnnnalDvd(3.4)由归纳假设（3.1）式成立。由110,knnLD非奇异，11nnDU非奇异，从而由(3.2)式和(3.3)式可惟一确定nv和Tnl.又从(3.4)式可唯一求得,nd所以ALDU分解是存在而且惟一的。又由归纳证明过程，A的k阶顺序主子式111111222222211||||||,||||||||,............||||||||.kkkkkkkkALDUDALDUDdDALDUDdD所以1,1,2,...,.kkkdkn推论可逆矩阵nnAF有LU分解的充分必要条件是A的顺序主子式0,1,2,...,1.kkn例2设123121973431942621A，求A的LDU分解。解1(1)(1)(1),A由(3.1)—(3.4)式，得到222222,2,5,vlud所以2222222212101012,,,,21210510ALDUALDU3123219,343A同理求得：3331231001003210,050,01,53210012001LDU4,AA从(3.1)—(3.4)式求得4441(4,2,1,1),1,(1,1,,1).2TTldv所以441000121005,32101242111LD4123130115100120001U444ALDU定义3.2设矩阵A有惟一的LDU分解。若把ALDU中的D和U结合起来，并且用U来表示，就得到唯一的分解()ALDULU称为A的Doolittle分解.练习：求矩阵5240212142500102A的LDU分解和Doolittle分解矩阵的满秩分解定义3.2设mnAF，秩(A)=r,若存在秩为r的矩阵,,mrrnBFCF使得ABC则称(3.7)式为矩阵A的满秩分解。定理3.2对任何非零矩阵,mnAF都存在满秩分解。证明：设秩(),Ar由等价标准形知道存在可逆矩阵,,mnnnPFQF使得0,00rIPAQ即11000rIAPQ分块为1111(|),.CPBBQCB为1P的前r列组成的矩阵，则,,mrrnBFCF且秩()B秩()Cr.111100(|)0000rrCIIAPQBBBCC分解方法二：若只对A作行初等变换，可得到阶梯形矩阵：,0C其中秩()C秩()C秩()Ar，因此有可逆矩阵,P使,0CPA从而11(|),00CCAPBBBC方法是(|)|,0mCAIP行变换B为1P的前r列，C是A化为阶梯形中的非零行。ABC.例4设112022,101A求A的满秩分解。解31121001121001(|)0220100110021010011000112AI解得1001121,0001121112CP，1100020,111P所以，1002,11B101120201111ABC方法3.我们首先考虑这样的情形：,mnAF设秩(),Ar而且A的前r列线性无关，则它们是A的列向量的极大无关组12{,,...,},r设112(,,...,),rA则秩11(),.mrArAF又A的后nr列12{,,...,}rrn可表示为列向量极大无关组的线性组合，设212(,,...,)rrnA则21AAS其中()12(,,...,),rnrrrnSXXXjX满足12(,,...,)jrjX因此1211(|)(|),AAAAAS即1(|),rAAIS即1,(|)rBACIS即为满秩分解。Hermite标准形是阶梯形中每一行第一个非零元素为1，而且该元素所在的列中其它元素为0的特殊的一种。方法三如下：(1)用行初等变换把A化为Hermite标准形。(2)依Hermite标准形中，向量ie所在的列的位置为第ij列，相应取出A的第ij列ij，得到A的列向量极大无关组1212{,,...,},(,,...,).rrjjjjjjB(3)A的Hermite标准形中非零行构成矩阵C，得到A的满秩分解：.ABC例5.用方法三求例四中A的满秩分解解用行初等变换花A为Hermite标准形112112112101022022011011101011000000A则可知：秩()2,AA的前两列线性无关，取出A的前两列构成.B因此1110102,,.01110BCABC3.3矩阵的奇异值分解定理3.9设,mnAC则矩阵HnnAAC和矩阵HmmAAC具有如下性质(1)秩()A秩()HAA秩();HAA(2)HAA和HAA的非0特征值相等.(3)HAA和HAA都是半正定矩阵，当秩()An时，HAA为正定矩阵，当秩()Am时，HAA为正定矩阵。定义3.4对于,mnAC秩()Ar第四章矩阵的广义逆定义4.1设,nmAC若存在矩阵,nmBC使得nBAI则称A是左可逆的，称B为A的一个左逆矩阵，记为1.LA若存在矩阵,nmCC使得mACI则称A是右可逆的，称C为A的一个右逆矩阵，记为1.RA定理4.1设,mnAC则下面的条件是等价的：(1)A是左可逆的；(2)A的零空间()(0};NA(3),mn秩(),An即A的列满秩的；(4)HAA是可逆的.定理4.2设mnAC，则下列条件是等价的：(1)A是右可逆的；(2)A的列空间();mRAC(3),mn秩(),Am即A是行满秩的；(4)HAA是可逆的.例1矩阵400050A是右可逆的，不是左可逆的。由于31321044001010050015cc注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。一般地，一个矩阵左可逆未必右可逆，而且左逆矩阵和右逆矩阵都不是唯一的。二、单侧逆与解线性方程组定理4.3设mnAC是左可逆的，nmBC是A的一个左逆矩阵，则线性方程组AXb有形如XBb的解的充分必要条件是()0mIABb若上式成立，则方程组有唯一解1()HHXAAAb定理4.4设mnAC是右可逆的，则线性方程组AXb对任何mbC都有解。且对A的任意一个右逆矩阵11,RRAXAb是其解。特别地，1()HHXAAAb是方程组AXb的一个解。4.2广义逆矩阵一、减号广义逆定义4.2设,mnAC若存在矩阵,nmGC使得AGAA则称G为A的一个减号广义逆或{1}—逆A的全部减号广义逆的集合记为{1},{1}AA的元素用12,,...AA表示。定理4.5设,mnAC秩()Ar，若存在可逆矩阵mmPC和,nnQC使得0,00rIPAQ则{1}GA的充分必要条件是,rIUGQPVW其中()()()(),,rmrnrrnrnrUCVCWC是任意的。例2设01302415,45710A求A的减号广义逆。解34013010024150104571000110000000010000000100000001000AII11000202010010000003211151000022013000000100000001000于是115110202220130100,00103210001PQ所以A的减号广义逆为2,IUGQPVW其中212221,,.UCVCWC作业：求矩阵02042100036330211441jjjAjj(1j)的{1}逆Moore-Penrose广义逆定义4.3设,mnAC若存在矩阵,nmGC使得(1);AGAA(2);GAGG(3)()