矩阵论之矩阵论2

2.Jordan标准形介绍定理2.3线性变换T有对角矩阵表示的充分必要条件是T有n个线性无关的特征向量。定理2.4线性变换T有对角矩阵表示的充分必要条件是：12...()snVVVVF推论：若线性变换T有n个互异的特征值12,,...,n，则必有12....()nnVVVVF推论：()nVF上线性变换有对角矩阵表示的充分必要条件是()nVF可分解成T的一维不变子空间的直和。2.2Jordan矩阵介绍一、Jordan矩阵定义2.3形如1...00...0()............00...J(2.3)的r阶方阵称为一个r阶Jordan块。由若干个Jordan块()iJ构成的准对角矩阵。112()0...00()...0............00...()mmJJJJ称为Jordan矩阵。定理2.5在复数域上，每个n阶方阵A都相似于一个Jordan矩阵，即存在可逆矩阵,P使得11221()0...00()......00...000...()AssJJPAPJJ其中12()0...00()...0()............00...()kiiiiiiiiiJJJJ()iiJ为jn阶Jordan块，1,()jtjiiijnkJ是iikk阶Jordan矩阵，1,1,2,...,siiknis。若不计较Jordan块的排列次序，则每个方阵的Jordan标准形AJ是惟一的。二、Jordan标准形的求法讨论Jordan标准形的求法，涉及到如下形式的多项式矩阵或矩阵111212122212()()...()()()...()()............()()...()nnnnnnaaaaaaAaaa(1.35)的理论，其中()(,1,2,...,)ijaijn为数域K上的纯量的多项式。如果()ijAa是数域K上的n阶矩阵，则A的特征矩阵111212122212.....................nnnnnnaaaaaaIAaaa(1.36)就是一个特殊的多项式矩阵。多项式矩阵()A的标准形，是指使用矩阵的初等变换将()A化为如下形式的多项式矩阵12()0...00()...0()............000()sddAd其中12231()(),()(),...,()(),ssddddddsn，且()(1,2,...,)idis是首1多项式（前面的几个()id可能是1）。例1.25试用初等变换化多项式矩阵2222121()11A为标准形。解：计算过程如下：2[1][3][1][3]2222(3)(1)22222[2](21)[1][2][3[3](1)[1]221211()01111211121100111010000A2]22[3][2](1)[3](3)(1)(2)233100001001000000000最后所得矩阵是()A的标准形，此时，3123()1,(),()ddd。可以证明，一个多项式()A的标准形(1.37)的对角线上的非零元素不随矩阵的初等变换而改变。因此，通常称()(1,2,...,)idis为()A的不变因子或不变因式。如果以()(1,2,...,)iDis表示()A的一切i阶子式的最大（高）公因子，则()A的不变因子可由下面的公式01()(),()1(1,2,...,)()iiiDdDisD(1.2.38)来计算。式(1.2.38)表明，()A的标准形(1.2.37)被()(1,2,...,)iDis惟一决定。把()A的每个次数大于零的不变因子()id分解为不可约因子的乘积，这样的不可约因式（连同它们的幂指数）称为()A的一个初等因子，初等因子的全体称为()A的初等因子组。确定()A的初等因子组的一个简便方法是：用初等变换将()A化为对角矩阵，若记对角线上的非零多项式为()(1,2,...,),ifis那么诸次数大于零的()if的全体不可约因式，就是()A的初等因子组。注意，初等因子组是随系数域不同而不同的。因为有些不变因子在有理数域上可能不可约，但在实数域或复数域上却是可约的。在复数域上，求n阶矩阵()ijAa的Jordan标准形的步骤如下：第一步：求特征矩阵的IA的初等因子组，设为1212(),(),...,()smmms其中12,,...,s可能有相同的，指数12,,...,smmm也可能有相同的，且12mm...sm;n第二步：写出每个初等因子()(1,2,...,)imiis对应的Jordan块100010()00...1000iiiiiJ(1,2,...,)is第三步：写出以这些Jordan块构成的Jordan标准形1122()0...00()...0............00...()ssJJJJ例1.26求矩阵110430102A的Jordan标准形。解求IA的初等因子组，由于110430102IA1003(1)(3)4001221000(1)0012221000(2)(2)(1)010210001000(2)(1)因此，所求的初等因子组为22,(1).于是有200011001AJ例求矩阵1234012300120001A的Jordan标准形解为了求出A的特征矩阵IA的初等因子组，先用式(1.2.38)求1234012300120001IA的不变因子。显然有412340123()00120001D4(1)而且2341234(1)012因为3()D整除每个3阶子式，且有34()|(),DD所以3()1,D从而21()()1,DD于是得到IA的不变因子为41234()()()1,()(1)dddd即IA只有一个初等因子4(1),故1100011000110001AJ定理1.30每个n阶复矩阵A都有一个Jordan标准形相似，这个Jordan标准形除去其中Jordan块的排列次序外，是被A惟一确定的。下面用例子说明怎样求所需要的非奇异矩阵P的方法：设12(,,...,),,1,2,...,,inksiAPppppCisAPPJ，其中1122()0...00()...0............00...()AssJJJJ(2.5)即12111222(,,...,)((),(),...,())ssssApApAppJpJpJ，从而有(),1,2,...,iiiiAppJis(2.6)为表述简单，不妨取1111()AppJ为代表来分析。设11111111111()0...00()...0()............00...()JJJJ其中1iJ为in阶Jordan块，11,tiink由此可知11111110...001...0()00...0000...1000...iiinnJ(2.7)再把1p依1n列，2n列，…,tn列分块(1)(1)(1)112(,,...,tpppp从(2.6)式有(1)(1)11(),1,2,...,jjjAppJjt(2.8)设(1)12(,,...,)jjnp,结合(2.7),(2.8)式化为1112121110...001...0(,,...,)(,,...,)00...0000...1000...jjnnA该矩阵等式等价于由jn个方程组成的方程组1111211()0()...()jjnnAIAIAI(2.9)从(2.9)式可以求得一组向量12{,,...,}jn，我们称它为Jordan链。链中第一个向量1是A关于1的特征向量，2,...,jn称为广义特征向量。它的长度jn就是1()ijJ的阶数.(2.9)给出的是一个递归过程。从1求2,从2求3，等等。该过程到11()jjnnAI无解（不相容）时终止，便得到了Jordan链和11()jJ的阶数。由(2.8)式，11()J有多少个Jordan块11()jJ，就有多少条Jordan链，也就会有多少个线性无关的特征向量,1,2,...,.iit事实上是，矩阵A关于1的线性无关的特征向量的个数决定11()J中Jordan块的个数。计算步骤归纳：1.求A的特征多项式1212()()...()skkksIA12,,...,s互异，从而i为A的ik重特征值，其代数重数ik决定()iiJ的阶数为ik.2．由()0iAIX，求A的线性无关的特征向量12,,...,,iti的几何重数dimiiVt决定()iiJ有it个Jordan块。3．若i的代数重数等于几何重数：dim,iiikV对应的Jordan矩阵为ik阶对角矩阵。若dim,iiiVtk则在iV中选择适当特征向量,i由(2.9)式求Jordan链12,,...,jn，确定()iiJ的阶数，从而得到了AJ的结构。4．所有Jordan链构成矩阵,P必有1APAPJ例3设332763112A求可逆矩阵P和Jordan矩阵AJ，使1APAPJ解.由2(1)(2)0IA得1231,2,所以12(1)00(2)AJJJ其中1(1)(1)J已被确定，221(2)02J或者2002从()0,AIX求得1对应的特征向量1(1,2,1)T，从(2)0,AIX求得2对应线性无关的特征向量，2(1,1,1),T只有一个，所以可以确定2(2)J只由一个Jordan块构成，即221(2)02J由(2.9)式求解2(2)AI取一个解(1,2,0),T得到所需的一个广义特征向量.故12111(,,)212110P100021002AJ例4设2101020000210002A求可逆矩阵P和Jordan矩阵AJ，使1APAPJ.解4(2),IA所以2为A的四重特征根，2的代数重数为4，故(2)