矩阵论课程结业论文

浅谈矩阵论的发展在《九章算术》中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。直到18世纪末至19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件。矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。一、矩阵早期发展的社会与文化背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。二18世纪末19世纪初高斯和艾森斯坦等人的矩阵思想2.1二次理论研究中孕育的矩阵思想从18世纪末到19世纪初，数学家们对矩阵的阵列形式是用二次型的形式来表示的，对矩阵理论的发展及思想的形成是渗透在二次型理论中的。1773年[1]64，拉格朗日将齐次多项式的表达式222rzqyzpy通过线性代换nxmszNxMsy，变换成222NmMnqprQPR。1801年高斯出版《算术研究》，将欧拉，拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广。过程如下：一整数n表示成整数a，b，x，y的形式，设ncybxyaxF222yx，，令''''yxyyxx。则F变换成一个新的形式nycyxbxayxF22'''''2'''''，,其中222'''aacbcab，'F的系数依赖于F的系数和变换本身。高斯指出如果'F通过另外一个变换''''''''''yxyyxx变成''F，那么这两个变换的复合就是把一个F变成''F的新的变换''''''''yxyyaxax，这个新的变换的系数矩阵是原来的2个变换的系数矩阵的乘积。高斯在研究三元二次型222222FzEyzDxzCyBxyAx时，演算了一个类似的计算过程，这实际上给出了3×3矩阵相乘的法则。在这里高斯把变换的系数写成矩阵阵列的形式，甚至用单个的字母S指代一个特殊的变换，但是没有明确指出这种复合的思想就是乘法。2.2微分方程研究中孕育的矩阵思想18世纪，物理问题促进了微分方程的研究，微分方程成为一门独立的学科。到18世纪中期，微分方程的求解成为微分方程课题的目标。在微分方程中对解的问题的研究渗透了矩阵的一些概念。二阶常微分方程早在1691年就在物理问题中出现了[2]235。最初，数学家们用一个没有积出的积分来表示解，然后寻求把解表成积出形式，同时寻找用有限个初等函数来表示解。在达朗贝尔的从1743年到1758年的著作中，对二阶微分方程组32103122，，iyadtydkkiki进行了探讨，为了解这个方程组，对3个方程分别乘上一个常量iv，而后加在一起得321031，，kvavkikii，即如果321vvv是矩阵ikaA相应于的特征向量，那么变换332211yvyvyvu就是把方程化简成单个微分方程022udtud。在化简过程中孕育了特征向量、特征值等概念。1815年，柯西对32103122，，iyadtydkkiki作了进一步的研究，他的研究过程孕育了对称矩阵、特征方程、正交变换等概念。。柯西是受二次曲面的启发通过二次型的化简进行了研究。柯西把一个中心在原点的二次曲面用一个方程kzyxf，，给出，这里f是一个二次型，然后需要找到一个坐标变换使f变成一个只含平方项的形式。1829年，柯西找到变量的线性变换，使矩阵在这个线性变换的作用下是对角化的，并把这个问题推广到了有n个变量的二次型中，其系数可写成一个对称矩阵[3]537。例如，二元二次型222cybxyax定义了2×2的对称矩阵cbba。在寻找把222cybxyaxyxf，转化为平方和的线性变换过程中，柯西得到了2个方程ycybxxbyax，，可以写出方程组00ycbxbyxa，柯西得出只有当行列式等于0的时候，这个方程才有非平凡解，即02bca，在后来的矩阵理论中，这个等式就是特征方程0detA。在弄清特征方程的根是如何把一个对角矩阵的特征向量（至少在不等的情况下）都是实的，并且矩阵可以通过正交变换而对角化。1829至1830年，柯西第一次证明了实对称矩阵的特征根是实数。2.3行列式计算中孕育的矩阵思想在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述的，是法国数学家范德蒙。继范德蒙之后，在行列式的理论方面做出突出贡献的就是柯西。1812年，柯西先后用nnaaaa332211S、nnaaaaS.1.31.21.1表示行列式nnnnnnaaaaaaaaa.2.1..21.21.2.12.11.1，他第一次用双下标sra.来表示sra，两条竖线是凯莱在1841年引进的。1815年，柯西发表了一篇关于行列式理论的基础性文章[4]，给出了系统的一般行列式乘法定理，证明了新组的行列式是原来2个组的行列式的乘积，即jic.jia.jib.，这里jia.和jib.代表n阶行列式，jknkkijibac.1..。在这篇文章中他用缩写的记号na.1代表称之为“对称组”的矩阵：nnnnnnnaaaaaaaaaaaa.2.1..32.31.3.22.21.2.12.11.11843年，高斯的学生艾森斯坦用明确的符号S×T来表示2个变换S和T的复合。这些内容写在1844年他的一篇讨论三次型的论文中。关于这个记号，艾森斯坦写道[3]537：“顺便地，在它的基础上可以建立一个算法，其中包括把乘除法以及乘幂的一般运算规则应用到两个线性方程组的符号方程上。正确的符号方程总是可以得到，它思考的中心问题是因子的顺序，即方程组复合的顺序往往不可以改变。”，艾森斯坦这里所说的变换的一般运算规则实际上是矩阵的运算法则，并指出矩阵运算不符合交换律。三.19世纪中叶西尔维斯特等人促进了矩阵概念的形成关于矩阵的一些基本概念与结论很早就已经知道了，但都只是给出矩阵的排列形式没有明确给出矩阵概念。这就是说“在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念，而在历史上次序正相反”[5]208。但是，矩阵的这种排列形式在行列式计算中的广泛应用，在线性方程组求解过程中的日趋简化，为矩阵概念的形成和发展提供了有利的条件，因为一方面在矩阵引进的时候行列式的基本性质就已经清楚了，另一方面行列式的应用为矩阵的发展提供了工具，从而使矩阵理论得到进一步的发展。继柯西之后，在行列式理论方面最多产的是雅可比。1827年雅可比给出结论：斜对称矩阵的秩是偶数[4]26。1846年凯莱给出了对称矩阵与斜对称矩阵的概念[4]5。交换A=sra.的行与列得到矩阵sra.称为A的转置矩阵，记作TA，若TAA，则称A是对称矩阵；若TA=−A，则称A是斜对称矩阵。特征方程的概念隐含地出现在欧拉1748年的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念，拉普拉斯在同一领域的著作中也出现了这个概念。特征方程这个术语出现在柯西1840年的文章中。西尔维斯特在矩阵的早期发展中做出了重要的贡献。矩阵（Matrix）一词是由西尔维斯特最先使用的。1850年，他在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵[6]。西尔维斯特创造矩阵一词来表示“一项由m行n列元素组成的矩形阵列”。1855年，凯莱注意到在线性方程组中使用矩阵是非常方便的，因而引进矩阵以简化记号【7】。他用：（，，，…）='''''''''zyx，，来表示方程组：zyxzyx'''zyx''''''继而把方程组的解用矩阵的逆来表示。凯莱接着给出零矩阵、单位矩阵等概念。1858年，凯莱发表重要文章《矩阵论的研究报告》，用单个的字母表示矩阵，给出矩阵相等、相加、相乘的定义和规则[5]209。四结论从18世纪开始，物理等自然科学的研究领域给予数学以新的推动力，为矩阵这一工具的早期发展提供了外部源泉。整个18世纪和19世纪初的数学工作，远较其他世纪更为受到物理问题的激励，数学工作的目标被认为就是求解物理问题，数学只是物理的一个工具。因此，大多数数学家并不关心数学的严密性，非常热衷于扩大数学的应用，而很少阐明其数学来源。到19世纪中期，一些数学家包括雅可比、达朗贝尔、凯莱、西尔维斯特[8]等对证明的考虑更少，数学家们所关心的是数学对其它领域的贡献，没有注重在贡献概念的同时对思想渊源的概括和抽象，所以我们看到了西尔维斯特在著名的结论后面没有给出证明，凯莱有关矩阵结论的错误断言以及凯莱对凯莱--哈密顿定理的不完整证明。不难理解，数学在没有逻辑支持的前提下，出现了行列式与矩阵这种不合逻辑的发展。但是，数学作为工具在探索宇宙中的贡献，恰恰证明了不同领域的数学家们对数学真理的不懈追求，正是这种非常规的证明思路、逻辑演绎孕育了数学家们的灵感与思想，使得