2019年中考数学专题复习-第二十三讲-圆的有关计算共69张PPT语文

第二十三讲圆的有关计算一、正多边形和圆1.定义:各边_____,各角也都_____的多边形是正多边形.2.正多边形和圆的关系:把一个圆______,依次连接_______可作出圆的内接正n边形.相等相等n等分各分点二、圆中的弧长与扇形面积1.半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=_____.nR1802.扇形面积:(1)半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形=_____.(2)半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形=____.2nR3601R2l【自我诊断】(打“√”或“×”)1.扇形小于半圆.()2.圆锥的侧面展开图的半径等于圆锥的母线长.()3.已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为.()×√×344.弓形的面积等于扇形面积-相应三角形面积.()5.一个圆锥的底面半径是6cm,其侧面展开图为半圆,则圆锥的母线长为9cm.()××考点一正多边形和圆的有关计算【示范题1】(2017·滨州中考)若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为()2A.2B.22C.D.12【思路点拨】根据题意画出图形,再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可.【自主解答】选A.如图所示,连接OA,OE,∵AB是正方形ABCD内切圆的切线,∴OE⊥AB,∵四边形ABCD是正方形,∴AE=OE,∴△AOE是等腰直角三角形,∴OE=2OA2.2【答题关键指导】正多边形的有关边的计算的常用公式(1)r2+=R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).(2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长).(3)S正n边形=lr(l表示周长,r表示边心距).2a()212【变式训练】1.(2017·达州中考)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是()23A.B.C.2D.322【解析】选A.如图1,∵OC=2,∴OD=2×sin30°=1;如图2,∵OB=2,∴OE=2×sin45°=;如图3,∵OA=2,∴OD=2×cos30°=,则该三角形的三边分别为:1,,,∵(1)2+()2=()2,∴该三角形是直角三角形,∴该三角形的面积是2332231212.222.(2017·济宁中考)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2,如此继续下去,则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________.【解析】由正六边形的性质得:∠A1B1B2=90°,∠B1A1B2=30°,A1A2=A2B2,∴B1B2=A1B1=,∴A2B2=A1B2=B1B2=,∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2,∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积∶正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=13331233231,33()∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积同理:正六边形A4B4C4D4E4F4的面积=答案:133361222，1333322，31333.3218（）318考点二弧长、扇形面积的计算【示范题2】(1)(2017·烟台中考)如图,平行四边形ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的☉O交CD于点E,则的长为()DE1274A.πB.πC.πD.π3363(2)(2017·菏泽中考)一个扇形的圆心角为100°,面积为15πcm2,则此扇形的半径长为________.【思路点拨】(1)连接OE,由平行四边形的性质出∠D=∠B=70°,AD=BC=6,得出OA=OD=3,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠DOE=40°,再由弧长公式即可得出答案.(2)根据扇形的面积公式S=即可求得半径.2nR360【自主解答】(1)选B.连接OE,如图所示:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,∴OA=OD=3,∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,∴∠DOE=180°-2×70°=40°,∴4032DE.1803的长(2)因为圆心角为100°,面积为15πcm2,所以由扇形面积公式S=得R=答案:cm2nR360360S3601536.n10036【答题关键指导】扇形面积公式的选择(1)当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时,选用公式S扇形=.(2)当已知半径R和弧长求扇形的面积时,应选用公式S扇形=lR.2nR36012【变式训练】1.(2017·枣庄中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB为☉O的直径,☉O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则的长为________.FE【解析】如图,连接OE,OF,∵CD是☉O的切线,∴OE⊥CD,∴∠OED=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,∴∠A=∠C=60°,∠D=120°,∵OA=OF,∴∠A=∠OFA=60°,∴∠DFO=120°,∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°,的长==π.答案:πEF3061802.(2017·泰州中考)扇形的半径为3cm,弧长为2πcm,则该扇形的面积为________cm2.【解析】根据扇形面积公式,S=lr=×2π×3=3πcm2.答案:3π1212考点三与圆有关的阴影面积的计算【考情分析】与圆有关的阴影面积的计算是各地中考试题命题的热点,常与三角形、四边形、切线等结合进行命题,试题难易度变化较大,呈现形式多样化,有选择题、填空题和解答题.命题角度1:阴影部分面积由扇形的面积与其他图形的面积和差得到【示范题3】(2017·青岛中考)如图,直线AB,CD分别与☉O相切于B,D两点,且AB⊥CD,垂足为P,连接BD,若BD=4,则阴影部分的面积为________.【思路点拨】根据阴影部分的面积=扇形OBD的面积-△OBD的面积,计算得出答案.【自主解答】连接OB,OD,因为直线AB,CD分别与☉O相切于B,D两点,且AB⊥CD,所以∠PBO=∠PDO=90°,因为OB=OD,所以四边形PBOD是正方形,所以∠BOD=90°,△BOD是直角三角形,由勾股定理得OB2+OD2=42,解得OB=2,2所以阴影部分的面积==2π-4.答案:2π-429022122223602命题角度2:阴影部分由多个扇形等简单组合而成【示范题4】(2017·德州中考)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为________.【思路点拨】把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体,其和就是透光的面积,再计算矩形的面积,相比可得结果.【自主解答】设☉O与矩形ABCD的另一个切点为M,连接OM,OG,则M,O,E共线,由题意得:∠MOG=∠EOF=45°,∴∠FOG=90°,且OF=OG=1,∴S透光区域=过点O作ON⊥AD于点N,218011211136022，∴ON=∴AB=2ON=∴S矩形=∴答案:12FG22，222,22222，1S222.S822透光区域矩形（）228（）命题角度3:阴影面积与折叠、旋转相结合考查【示范题5】(2017·济宁中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1.将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是()BD11A.B.C.D.63222【思路点拨】先根据勾股定理得到AB=,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ABC,于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD.2【自主解答】选A.∵∠ACB=90°,AC=BC=1,∴AB=,∴S扇形ABD=又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,∴Rt△ADE≌Rt△ABC,∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD=.22302.3606（）6命题角度4:阴影部分面积与切线相结合【示范题6】(2017·临沂中考)如图,AB是圆O的直径,BT是圆O的切线,若∠ATB=45°,AB=2,则阴影部分的面积是()31A.2B.2411C.1D.24【思路点拨】设AT交☉O于点D,连接BD,先根据圆周角定理得到∠ADB=90°,则可判断△ADB,△BDT都是等腰直角三角形,所以AD=BD=TD=然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S△BTD.2AB22，【自主解答】选C.∵BT是☉O的切线;设AT交☉O于点D,连接BD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,而∠ATB=45°,∴△ADB,△BDT都是等腰直角三角形,∴AD=BD=TD=∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积,∴阴影部分的面积=S△BTD=2AB22，1221.2【答题关键指导】求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法有:①直接用公式法;②和差法;③割补法.【变式训练】1.(2017·淄博中考)如图,半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是()A.2+πB.2+2πC.4+πD.2+4π【解析】选A.如图,连接CD,OD,∵BC=4,∴OB=2,∵∠B=45°,∴∠COD=90°,∴图中阴影部分的面积=S△BOD+S扇形COD=21902222.23602.(2017·衢州中考)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是☉O的直径,CD,EF是☉O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8.则图中阴影部分的面积是()A.πB.10πC.24+4πD.24+5π252【解析】选A.作直径CG,连接OD,OE,OF,DG.∵CG是圆的直径,∴∠CDG=90°,则DG=又∵EF=8,∴DG=EF,∴∴S扇形ODG=S扇形OEF,∵AB∥CD∥EF,∴S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,22CGCD221068，DGEF∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=21255.223.(2017·怀化中考)如图,☉O的半径为2,点A,B在☉O上,∠AOB=90°,则阴影部分的面积为________.【解析】∵∠AOB=90°,OA=OB,∴△OAB是等腰直角三角形.∵OA=2,∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=×2×2=π-2.答案:π-22902136024.(2017·荆门中考)已知:如图,△ABC内接于☉O,半径OC⊥AB,点D在半径OB的延长线上,∠A=∠BCD=30°,AC=2,则由,线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为________.BC【解析】由垂径定理可知BC=AC=2.∵∠O=2∠A=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形.∴OC=BC=2,∠OCB=60°.∵∠BCD=30°,∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°.∴CD=OC·tan∠O=2.S阴影=S△OCD-S扇OBC=答案:321602222323.23603－＝－2233－5.(2017·潍坊中考)如图,AB为半圆O的直径,AC是☉O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA.(1)求证:EF为半圆O的切线.(2)若DA=DF=6,求阴影区域的面积.