算符对易关系-第三章

13.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系1．算符的对易关系设和为两个算符ˆFˆG若，ˆˆˆˆFGGF则称与对易GˆFˆ若，FGGFˆˆˆˆ则称与不对易GˆFˆ引入对易子：FGGFGFˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[若，0]ˆ,ˆ[GF则与对易GˆFˆ若，0]ˆ,ˆ[GF则与不对易GˆFˆ2ˆˆ,0ˆˆ,0ˆˆ,0xyyzzxˆˆ[,]0ˆˆ[,]0ˆˆ[,]0xyyzzxpppppp[,]0xx,1,2,3ˆˆ,0pp123,,xxxyxz1,2,3ˆˆˆˆˆˆ()xyzpppppp,1,2,33.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续１）ˆˆˆ,,0,ˆˆˆ,,,0ˆˆˆ,,0,yzxyxzxyzxpxpxpiypiypypzpzpzpiˆ,(,1,2,3)xpi（1）力学量算符的基本对易关系3证明对易关系式xxUipxUx)(ˆ),(ExProve设为任一可微函数,,fxyzˆˆˆˆˆ,xxxxxUxPfUPPUfUPfPUfˆ,xUUxPixUffiUixxUUififxx特别地，当代入上对易式，即证得Uxxˆ,xxPi同理可证：ˆ,yyPiˆ,zzPi3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续２）fUfiUifiUxxx4ˆˆ[,]0AAˆˆˆˆ[,][,]ABBA]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[CABACBA]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[CBCACBA]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[CABCBACBA]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[CBABCACBAˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0ABCBCACABprove:（2）对易恒等式雅可比恒等式双线性ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆBACBACABCBCA]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[CABCBAˆˆˆ[,]ABCˆˆˆˆˆˆABCBCA3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续３）5ˆˆˆ[,]LLiLˆˆˆLLiLˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]xyzyzxzxyLLiLLLiLLLiL（3）角动量算符的对易关系110isanoddpermutationofxyzisanevenpermutationofxyzotherwise222ˆˆ[,]0ˆˆ[,]0ˆˆ[,]0xyzLLLLLL2ˆˆ[,]0LL,,xyz3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续４）6]ˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[yyzyxLpzpyLLˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]zyyzyyyyypLyLpzpLzLpˆˆˆˆˆˆˆ[,][,]zxzxzyypzpxpzzpxppˆˆˆ[,]ˆ[ˆˆˆˆ[,][,],]zzxzxyzypxpzypzpypzxpppzˆˆ[,][ˆˆˆˆˆˆ[,][],],zzxxzyzyppzypzpyzppxzxppˆˆxyiypixpzLiˆProve:ˆ[,]0yyLˆˆ[,]0yypL等于零ˆˆ()yxixpyp等于零3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续５）7定理prove:2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续6）设是和的共同本征函数完全系，则nˆFˆGˆˆ,nnnnnnFGˆˆˆˆ0nnnnnnFGGF设是任一状态波函数，1nnnaˆˆˆˆˆˆˆˆ0nnnFGGFaFGGFˆˆˆˆˆˆ,0FGGFFG若算符和具有共同的本征函数完全系，则和必对易。ˆFˆGˆGˆF8逆定理prove:设是的本征函数完全系，则nˆF若算符与对易，则FˆGˆˆˆˆˆFGGFˆnnnF（1）ˆˆˆˆˆnnnnFGGFG（2）为简单起见，先考虑非简并情况。由（1）、（2）式知，和都是属于本征值的本征函数，它们最多相差一个常数因子，即nˆnGˆFnnˆnnnG可见，也是的本征方程的解。因此，是的本征函数完全系nˆGnˆG若算符与对易，则它们具有共同的本征函数完全系ˆFˆG3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续7）9★若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。★两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。注3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续8）★为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了）10Ex.2角动量算符和对易，即因此它们有共同的本征函数完备系。0]ˆ,ˆ[2LLz{(,)}lmYˆzL2ˆL22(1)zLllLm，3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续9）()pr同时有确定值。,,xyzppp在描述的状态中，在描述的状态中，,lmY和可同时有确定值:2LzLEx.1动量算符彼此对易，它们有共同的本征函数完备系ˆˆˆ,,xyzppprpiper23)2()(11Ex.5彼此不对易，故一般不可能同时有确定值。zyxLLLˆ,ˆ,ˆzyxLLL,,Ex.4坐标算符与动量算符不对易，故一般不可同时具有确定值。iPxx],[xPx,3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续10）42222,(1),2snzeELllLmnEx.3氢原子的算符彼此对易：2ˆˆˆzHLL、、0]ˆ,ˆ[2LH0]ˆ,ˆ[zLH0]ˆ,ˆ[2zLL它们有共同的本征函数完备系{(,,)}nlmr故可同时有确定值:zLLH,,2在状态中，,,nlmr12（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：.ˆ,ˆ,ˆzyxpppEx.2氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：.ˆ,ˆ,ˆ2zLLH一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：Hˆ（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。3.力学量完全集合Ex.3Ex.13.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续11）134．测不准关系3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续１2）●测不准关系的严格推导●坐标和动量的测不准关系●角动量的测不准关系引言由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值Fn与平均值F的偏差的大小。14GGGFFFˆˆ,ˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆFFGGGGFFFGGFˆˆˆˆˆˆˆˆ()()FGFGFGFGGFGFGFGFkiFGGFˆˆˆˆˆ设和的对易关系为GˆFˆkiGFˆ]ˆ,ˆ[kiFGGFˆˆˆˆˆ考虑积分：2ˆˆ()()IFiGddGiFGiF]ˆˆ][)ˆ()ˆ[(**dFGGFidFF]ˆ)()ˆ()ˆ[()ˆ()ˆ(***2dGG)ˆ()ˆ(*（再利用力学量算符的厄米性）●测不准关系的严格推导150)ˆ()ˆ(222GkF由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：4)ˆ()ˆ(222kGF（称为测不准关系）如果不等于零，则和的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着和不能同时测定。kFˆGˆFG222***ˆˆˆˆˆˆ()[]()FdiFGGFdGd3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续１3）16由测不准关系看出：若两个力学量算符和不对易，则一般说来与不能同时为零，即和不能同时测定（但注意的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符和对易，则可以找出这样的态，使和同时满足，即可以找出它们的共同本征态。222()()4FGkˆFˆGFG[,]0FGˆFˆG0F0GˆFˆGˆxxpi4)ˆ()(222xpx故有●坐标和动量的测不准关系22))2xxp（（或写成172xpx简记为表明：和不能同时为零，坐标的均方差越小，则与它共轭的动量的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。xxpxPx3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续１4）●角动量的测不准关系22224))ˆ]ˆˆ[zyxzyxLLLLiLL（（，2222241))()44xyLLmm（（当粒子处在的本征态时ˆzL18测不准关系的应用Ex.1利用测不准关系估算线性谐振子的零点能0ESolve：谐振子的能量21nEn222()()xnnnxNeHx222212ˆˆxpH平均能量：2222121xpHEdxxPxPnn)(ˆ)(*dxxdxdxinn)()(*3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续１5）dxxxdxdixxinnnn)())(()()(**190)(2dxxxxn222222222ˆ()()()()()4PPPPxxxxPx2224Px22222221112228EHpxxx0Pˆ()nnpxdxP3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续16)可以由对称性直接得出20222221280ExxdEdxmin012EE故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，零点能在旧量子理论是没有的。22x（零点能）3.7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续17）21Prove:22224))ˆ]ˆˆ[xzyxzyLLLLiLL（（，则测不准关系：222224040)xxyLLL（平均值的平方为非负数欲保证不等式成立，必有：0xL同理0yL由于在本征态中，测量力学量有确定值，所以均方偏差必为零zLlmYˆzLzLEx.2利用测不准关系证明，在本征态下，ˆzLlmY0xL0yL22此式表明力学量平均值随时间变化有两方面的原因:体系所处的状态随时间而变化力学量算符是时间的显函数，使随时间变化FˆFˆ),(tx*ˆ(,),(,)FxtFxtxtdx***ˆˆˆdFFF