研究生数值分析(工程数学)试题及答案

湖北工业大学2015级非全日制研究生课程考试（考查）试题考试（考查）科目工程数学学位类别说明：1.试题版面为标准A4，各题标题字号为黑体加粗5号字，题干字号为标准宋体5号字2.答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。--------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题（每小题3分，共30分）(1)圆面积的计算公式为2AR，则圆面积的相对误差约是半径的相对误差的_2___倍.(2)设3()201120102009fxxx，则差商3,2,1,0f=____2011______.(3)设()(0,1,2)jlxjn是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则0()njjlx1.(4)4个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为___3___次.(5)梯形求积公式具有1次代数精度,辛普生求积公式具有3次代数精度.(6)求方程0)(xf根的牛顿迭代格式是______1nnnnfxxxfx___.(7)设4321A,则A=___7_____,1A=____6____.(8)设33矩阵G的特征值是2,1,3,则矩阵G的谱半径)(G=______3_____.(9)已知1021A,则条件数)(1ACond=_____2____.(10)对于方程组3311420382121xxxx,Jacobi迭代法的迭代矩阵是3084011JG.二、(15分)已知函数()yfx的相关数据ix0.400.550.650.80()iiyfx0.410.580.700.89由牛顿插值公式求三次插值多项式3()Px.（注：要求给出差商表）.ix()iiyfx一阶差商二阶差商三阶差商0.400.410.550.581.1330.650.701.20.2680.800.891.270.280.033()0.411.1330.400.2680.400.550.030.400.550.65Pxxxxxxx三、(15分)定义内积10(,)()()dfgfxgxx试在xSpanH,11中寻求对于xxf的最佳平方逼近多项式xp.构造[0,1]上首项系数为1的正交多项式，设01gx，1gxxa，由正交性1010,10gxgxxadx，解得12a设0011fxcgxcgx，正规方程组为0000,,fxgxcgxgx1111,,fxgxcgxgx所以有1100002(,1)11d3xdxxcxc1100002(,1)11d3xdxxcxc211110011111(,)d1522212xxdxxxcxxc所以023c，045c最佳平方逼近多项式为24135x四、(15分)证明:求积公式()d()4(0)()3hhhfxxfhffh的代数精度是三次.证明：设32()fxaxbxcxd是任意的3次多项式，带入求积分公式的左边3322()d23hhhhbhfxxaxbxcxddxdh代入求积分公式的右边4()4(0)()()()(0)333hhhfhffhfhfhf322422333hhdbhbhddh所以所求积分公式对任意3次代数多项式是完全精度，求积分公式具有3次代数精度。五、(15分)设有求解初值问题00(,),()yfxyyxy的如下公式：)],(),([1111nnnnnnnyxdfyxcfhbyayy假设11(),()nnnnyyxyyx，试确定,,,abcd使该格式的局部截断误差精度尽量高.六、(10分)应用Newton法解方程220x时,可导出求2的迭代公式：112()2kkkxxx证明:这个迭代公式对于任意初值00x,都是收敛的.证明：22,20,2,2220fxxffxxf，牛顿迭代公式112()2kkkkkkfxxxxfxx2222,,202fffxfxfxxxxfxfxf所以迭代公式对于任意初值00x,都是收敛的.