硕士《高等土力学》-极限平衡法1.

高等土力学主讲人:张升e-mail:[e-mail]知识体系土的弹塑性理论基础塑性力学的上、下限定理下限解—垂直条分法——陈祖煜上限解—斜条分法——陈祖煜流固耦合方法（PFEM）——盛岱超剑桥模型的阐述——张锋SoilmechanicisnotanexperientialtechnologySoilmechanicisakindofscience边坡稳定、土压力、地基承载力—强度问题—极限平衡分析塑性理论的上、下限定理和条分法Terzaghi，Perk，Sloan，黄文熙，陈祖煜，etc.理论方法、数值模拟、试验方法小变形理论、连续介质力学—重大缺陷引言张量tensor将任意一个矢量u转变成另一个矢量v的线性变换T称为张量自由指标(freeindex)式中某一项，若同一指标出现二次以上，规定对此指标进行求和运算，并省略求和符号Σ求和规定其中出现二次以上的指标j称为哑标(dummyindex)，表示求和:张量中一旦出现哑标，则哑标的符号jj可由其它任意哑标替换而不改变该张量的性质。另外，一旦出现哑标，则张量的阶数将下降二阶，称之为缩并。单位张量(Kronecker)证明:土体稳定分析的基本提法和求解固体力学问题是一致的,即在一个确定的荷载条件下,寻找一个应力场σij和位移场ui,以及相应的应变场εij。静力平衡：弹塑性理论1变形协调弹塑性理论2虚功原理本构关系式(6)通常采用摩尔—库仑准则,即一般不容许出现拉应力的限制条件,即塑性力学的上、下限定理1仅关心土体失稳时的极限承载能力,不需要了解此时的具体变形，回避最难以准确确定的Cijkl。方案1如果边坡表面作用有荷载,可以将这个荷载增加到直至破坏：方案2极限状态是通过施加一个假想的水平体积力实现的；方案3定义安全系数，假定材料的抗剪强度指标降低至边坡处于极限状态：塑性力学的上、下限定理2垂直条分法假定边坡内存在一潜在的滑裂面。在这一滑裂面上，处处达到了极限平衡状态。将这一滑动土体分成具有垂直边界的条块，通过静力平衡得到相互关系。下限解——垂直条分法1下限解——垂直条分法2存在着4个未知量，即作用于土条底面的法向力，作用于土条侧面的总作用力、倾角及其作于侧面上的位置二个静力平衡方程和一个力矩平衡方程，缺少一个方程对土条侧面作用力的倾角作以下假定在实际应用中,经常两种假定,第一种假定取f0(x)=0,f(x)=1,即Spencer法。第二种假定取f(x)为一正弦曲线。引入假定函数后,解得安全系数F(或土压力P)和λ这两个未知量。下限解——垂直条分法3由于引入假定的函数f0(x)和f(x)可以是多种多样的，则安全系数F的解答也就不可能是唯一的。垂直条分法理论体系要求，所有的这些解答都要接受以下的合理性条件的限制：式中E′和X分别为作用于侧面的有效作用力和切向力，φav′和cav′为侧面上的平均有效抗剪强度指标，h为土条高度，N为作用于条块底部的法向作用力。x,y方向的静力平衡方程,可得：下限解——垂直条分法4其中对条底中点建立力矩平衡方程,可得式中ht为水平地震力作用点与条底的距离；yt为G作用点的y坐标值。根据边界条件，可获得边坡稳定垂直条分法的力和力矩平衡方程式的积分形式，分别为下限解——垂直条分法5在边坡稳定分析领域,式(19)～(25)中的土压力P为零,因而简化为下限解——垂直条分法6下限解——垂直条分法7在土压力领域,式(19)和(20)中包含的F为已知量,其值为1。可以通过式(19)直接求解P,再代入式(20)得到一个只包括一个未知量λ的方程式:在滑裂面固定时,传统的极限平衡方法所获得的是一个静力许可的解答，其解答应视为满足下限定理的框架,相应的是小于真实解的、留有余地的安全系数。如果严格遵循加荷的途径来分析结构的安全度,那么临界破坏模式相应的目标函数应为最大,而不是最小,这和下限定理是一致的。尽管对这个问题在理论上还有不同的认识,对于工程师来说至关重要的是,了解他们经常使用的“Bishop”、“Morgenstern-Price”法等总在提供一个偏安全的解。下限解——垂直条分法8理论框架对于一个处于极限状态的边坡，假定在土体里存在一个塑性区，塑性区里各点均达到屈服，在这一塑性区和边界上如果由于某一外荷载增量导致一个塑性应变。上限解——斜条分法1通过虚功原理，求解相应这一塑性变形模式的外荷载：上限解——斜条分法2上限定理指出，相应真实塑性区的外荷一定比虚拟荷载小或相等。因此，极限分析上限解就是在许多可能的滑动机构中寻找一个使虚拟荷载最小的临界滑动机构。式中是外荷载增量引起的塑性位移增量，这个位移率通常称为塑性速度，W是塑性区的体积力。式(32)的左边两项分别是产生于破坏体塑性内和沿滑裂面的内部耗散能。如果材料遵守摩尔—库仑破坏准则和相关联的流动法则，则可确认速度V与滑面夹角为φe。因此单位面积内能耗散可用下式表示:上限解——斜条分法3斜条分法将滑动土体分成若干具有倾斜侧面的土条，假定沿条块底面和侧面土体，均达到了极限平衡。每一条块本身视为一个刚体，在某一外力增量的作用下，每个条块将产生一个塑性变形增量，式(32)可简化为分别用上标s和j表达底面和界面的内能耗散。土条被划分为n个土条,包括n-1个侧面。由于速度V与滑动界面的夹角必须为φe，知道第一个条块的速度V1后，即可求得第二个条块的速度V2和第一个条块相对于第二个条块的速度Vj1。依此类推,任意一条块的V和Vj可表达成第一个条块的速度V1的线性函数。这样V不再是未知数,我们将通过式(34)求解一个F值。上限解——斜条分法4位移协调条件要求相邻条块的移动不至于导致它们重叠或分离，即速度多边形要闭合。根据这个条件，右侧条块的速度Vr和左、右条块间的界面的相对速度Vj可以通过左侧条块的速度Vl确定：上限解——斜条分法5则任意一条块的V和Vj可表达成第一个条块的速度V1的线性函数:为减少数值分析的自由度，降低用最优化方法计算临界滑动模式的难度。上限解——斜条分法6各分段块体中xk,xk+1段可按线性内插原则进一步细分为若干条块。当条块宽度Δx很小时,分别将V和V+dV代替式(35)中的Vl和Vr,可得计算任一条块的V的微分方程。上限解——斜条分法7在滑面连续处则为最终获得计算安全系数或加载系数的公式方案1方案2方案3“塑性能”与“塑性势函数”剪缩剪胀F△h外力引起重力势能变化F△l外力引起热能变化实际上没有所谓的塑性能！也没有所谓的塑性势函数！塑性势函数只是为了方便，参照弹性势函数设定一种假想的势函数。因此，在塑性势函数中最为重要的是状态变量的选择！深刻理解势函数与状态变量的内涵状态变量statevariable平均主应力:131321323Ip主应力差:31q孔隙比:e通过试验可以证明各向同性固结试验1pcN.C.LCsCce132p10log(正常固结曲线)正常固结超固结10,321qp1pcN.C.LCsCce132p10log(正常固结曲线)正常固结超固结10100logppCeeeccsppCe10log压缩:膨胀:各向异性固结试验H3H1v0p10log12ecC1cC1cC1H3H1v0p10log12ecC1cC1cC1土的自然固结(K0固结，)10KvHK0水平应力Hv竖向应力室内试验，即剪应力比pq恒定的固结试验剪应力比恒定的各向异性固结试验中，e-logp曲线的斜率保持一定平均主应力保持一定的三轴压缩试验aaqeq/p1pp2pp3pp321pppp321pppp123pppeaaqeq/p1pp2pp3pp321pppp321pppp123pppe1D*(1+e0)q/pe0pconstppqe之间存在一一对应的关系:与)1()1(00eDpqeDe在平均主应力一定的三轴压缩试验中，体积压缩正比于剪应力比，而与平均主应力的大小无关。不同应力路径下的e-p-q的关系(c)(b)(a)FEDCBAFEDCBADEFCABpeΔe1Δe2Δe3Δe4Δe5Δe6Δe7q/p=2q/p=1q/p=0e:3=constLog10peΔe1Δe2Δe3Δe4Δe5Δe6Δe7q/p=2q/p=1q/p=0q/p=0q/p=2q/p=1Δe3Δe2Δe1Δe5Δe4Δe7Δe63一定的三轴压缩qpp一定的三轴压缩剪应力比一定的固结e:3=const从A点到F点，无论从哪条路径到达，其体积压缩量是相同的。也就是说，体积压缩量与应力路径无关!即e可以作为一个状态变量。A-D-E-FA-B-E-FA-B-C-FA～F任意二个应力状态A→F，体积压缩量平均主应力剪切应力比Δe=ΔeⅠ+ΔeⅡ010logppCecI)1(0eDeII)1(log0010eDppCec1e0Δe土骨架空隙令土骨架的体积为1，则土的总体积为V=1+e0。当体积变化ΔV=Δe时，体积应变为01eeVVvDppeCeecv01000log111e0Δe土骨架空隙令土骨架的体积为1，则土的总体积为V=1+e0。当体积变化ΔV=Δe时，体积应变为01eeVVv0100log1ppeCsevDppeCCscevvpv0100log1塑性体积应变与体积压缩量为同等的状态变量！Dppekpv00ln1剑桥模型的塑性势函数cam-claymodel0ln100pvpvDppekqpff),,(临界状态与应力路径临界状态(criticalstate):在临界状态下塑性体积应变增量为零0pdpvddpP20P10P1qC.S.LM*11P2非排水三轴压缩试验的有效应力路径q①平均应力m的三轴压缩试验全应力路径②最小应力一定的压缩试验全应力路径③①和②的有效应力路径①②③3p1C.S.L.非排水三轴压缩试验的全应力路径及有效应力路径一般应力状态时的剑桥模型MekDwhereDppekfpv1)1(,0ln1000将p-q应力空间中的模型推广至一般应力状态，须用一般应力空间的不变量2,Jm013ln02*0pvmmmeJMf势函数、屈服准则流动法则协调方程df=00pvpvijijdfdfHooke定理klijklklijklpklklijkleklijklijfEdEddEdEd)(预备:偏应力张量)3/(1ijijijIs3/,1IpmijijssJq2123133,3ijmijijsijpijfdiiijpijpvfddmijijmmijJsMMJf123331222**01efpv010iiklijklijklijklijfefEfdEfklijklijiiklijklijfEffedEf01一般应力状态时的剑桥模型（续）klijklijiiklijklijfEffedEf01ppqmnpqmnmmpqmnpqmnhdffEffedEf01pqmnpqmnpqmnpqmnmmpdEfdffEffehwhere,1,0ppqijpqklmnklmnklijk