第三章各年级的注意事项

第三章各年級的注意事項譯者林心怡當許多學生所擁有的必要基本技能，還不足以應付所有該年級的數學內容時，特別是在早期階段，想要落實課程標準是一項艱鉅的工作。本章的討論在於探討數學課程中各標準的要點，並且說明其中幾個要點在「以課程標準為基礎的課程」中所扮演的重要角色。另外，本章也提出一些要點，例如學生在哪些地方可能發生學習困難、在何時可能發生……這裡也提供如何應對的技巧及方法。最後，本章還指出特別需要注意的細節。本章對於較低年級的討論範圍如下：重點部分(areaofemphasis)—學習的主要目標（直接取自數學課程標準）主要的課程標準(Keystandards)—確認一些極重要的標準，並試著將它們放入課程(context)細節(Elaboration)—針對課程標準以及相關的範圍，提供額外的詳細說明。各年級應具有的能力(Grade-Levelaccomplishment))—確認在數學學習的範圍內，可能出現的特定困難及必須注意之處六年級以上，我們比較不探討各年級已能處理的問題，而將重點擺在討論主要的標準與細節。幼稚園到七年級的主要標準內容的組成，是數學課程標準中的五個主題（數字常識，代數與函數，測量與幾何，統計、資料分析與機率，以及數學推理）。很明顯的，數學推理與其他四個主題截然不同。數學推理本來就應該融入其他每一個主題；對於整個數學基礎而言，數學推理是發展基本技能及概念理解的基礎。從所有課程標準來看，數學推理是必要的。基於這項理由，本章就不會再強調數學推理的要點。本章對於八年級到十二年級的課程組織方式是依照數學科目，只有一些基本科目—代數Ⅰ、幾何、代數Ⅱ、三角學、初等微積分課程、數學分析、以及機率與統計—有仔細地討論。至於其他課程則參考其他相關資訊，例如進階測驗（AdvancedPlacement，簡稱AP），以及本書以外的資訊。對所有的教師、學生與課室而言，如果要進行較有難度的數學解題，那麼各年級數學能力的發展情況是非常具有意義的。在此過渡期，對於以課程標準為基礎的數學課程而言，這樣的資訊特別有幫助。各主題數學課程的內容常會被區分為幾類，稱為各主題。就如同大多數的分類系統，數學的各個主題也趨向於將內容打散，並形成幾個較小、容易分辨且可理解的類別。然而，在區分這些類別時並未取得共識；因此，區分各主題的作法就顯得有人工化的味道，而各式各樣的分類系統也就開始因應而生。除此之外，要將一項特定的數學概念或技能限制歸類為單一的主題，常常是很困難的。無論如何，對於幼稚園到七年級而言，這個架構仍然可以呈現出數學內容的五個主題。由於，從一個年級跨進下一個年級時，數學內容都會有所不同；因此，從幼稚園到七年級的數學課程中，任何主題內容都會大幅度影響數學課程。換句話說，各主題內容的唯一功用是在影響課程的組織與思維，它們是在說明課程，而不是在定義課程。同樣的，確認每一年級的數學教育的主題內容，並不是要求各主題一定要規劃出同等份量的課程。本章接著要說明各主題的性質(generalNatural)：數字常識學校中大部份的數學教學都必須依賴數字，以便於進行數計數、計算、測量及估計。本數學課程標準主要是強調數字概念的發展、數字的計算（包含加、減、乘、除、找出次方和根、還有其它延伸的部分）、數的命名及寫法（記數的系統，包括十進位基數、分數、負數、有理數、百分數、科學符號的記法…等），以及估計。在較高的年級，本主題的學習範圍還包括質數與複合數、無理數，並利用有理數逼近的近似值、實數及複數。代數與函數這個主題包含了兩個相關的科目。函數就是規則(rules)，也就是把在初始狀態的一個元素，指派到(asssign)第二種狀態的另一個元素。例如，即使在幼稚園這麼早的時期，孩子們會收集彩色的球，並根據顏色分類它們，因此他們在進行分類時開始依每個球的顏色做指派的動作。更大一點的孩子，學生能操作簡單的數字函數，例如把某種測量數量換算成另一種，如12英吋約等於一呎。因此，函數是數學課程中一門重要的領域。據指出，函數在小學階段僅僅是非正式接觸的課程，隨著學生升上更高的年級，他們對代數的理解力就會日益增進，因此函數課程也就顯得更重要了。從第一年開始接觸代數課程之後，學生每年都會遇到函數的課程，並對函數課程有不一樣的體認。。實際上，代數也是由非正式開始的。它一開始在三年級是以「四則運算」的形式出現。對較高的年級而言，代數是一項非常重要的工具，我們必須利用它來解出方程式及不等式，以及在現實情境中使用它作為數學模式以解釋現象。從自然語言（他們平常每天所使用的溝通語言）轉換成代數的抽象語言時所產生的困難，是學生必須克服的；相反的，學生可以從代數的正式語言到自然語言的過程中，表現出他們吸收概念後的全然理解。測量與幾何幾何學是在研究宇宙中的空間及圖形。不論是實際或理論，在學校中任何關於空間的學習都歸於幾何主題。在低年級的階段，這個主題包括測量工具的使用（例如：尺），以及基本形體的辨識（例如：三角形、圓形、正方形、球體及立方體）。在較高年級的學習內容就擴展到面積及體積、還有角度的測量。到了中學，平面幾何就被當是證明數學概念的敲門磚，而且平面幾何往往被認為是一種迷人的結構，它對文明世界的影響已經超過2000年。統計、資料分析與機率本主題的內容包括：各種平均數的定義與計算，以及分類法或以統計圖示法進行資料分析，並且討論到抽樣的隨機性或偏誤。在學習排列組合和巴斯卡三角時，本主題與主題2（代數與函數）和主題1（數字常識）之間有密切的連結。在小學階段，關於收集資料和用圖表呈現這兩項，其學習成效是非常有限的，大多數的小學生只能計算簡單的平均數以及操作簡單的機率實驗。當學生已經具備一般分數及代數概念的基本技能後，這個主題在七年級以後就會變得更加重要，他們因而能進一步探討統計以及統計對日常生活所造成的影響。數學推理只要我們是在證實一項數學敘述，就會涉及數學推理。低年級的數學推理主要是歸納的形式，而且很快就加入演繹推理。凡是關於計算過程的解釋、題目及各種難題的解答、演算法則及公式的理解、以及各領域數學基本結果的證明，這些都必須運用到數學推理。事實上，數學推理和其它四個主題的性質並不相同，必須有所區分。數學推理就是數學的核心，也就是數學的基礎，需要仔細、簡潔且可理解的證明。學生必須明白在獲得結論之前，必須先有假設，而他們必須要有能力確認假設是否獲得證實。學生必須發展出邏輯思考的習慣，並且能理解和質疑所有的假設。在日後的生活中，這種推理技能將提供給學生基本的能力，讓他們能做出合理的判斷及決定，因此他們就擁有無價的答辯能力，並且能對錯誤的主張能加以正確無誤地駁斥。主要標準數字常識代數和函數測驗和幾何統計、資料分析和機率數學推理幼稚園1.01.11.21.32.02.13.03.11.01.11.01.11.21.31.42.02.12.21.01.11.21.01.11.22.02.12.2一年級1.01.11.21.31.41.52.02.12.22.32.42.52.62.73.03.11.01.11.21.31.01.11.22.02.12.22.32.41.01.11.22.02.11.01.11.22.02.12.23.0二年級1.01.11.21.32.02.12.22.33.03.13.23.34.04.14.24.35.05.15.26.06.11.01.11.21.31.01.11.21.31.41.52.02.12.21.01.11.21.31.42.02.12.21.01.11.22.02.12.23.0三年級1.01.11.21.31.41.52.02.12.22.32.42.52.62.72.83.03.13.23.33.41.01.11.21.31.41.52.02.12.21.01.11.21.31.42.02.12.22.32.42.52.61.01.11.21.31.41.01.11.22.02.12.22.32.42.52.63.03.13.23.3四年級1.01.11.21.31.41.51.61.71.81.92.02.12.23.03.13.23.33.44.04.14.21.01.11.21.31.41.52.02.12.21.01.11.21.31.42.02.12.22.33.03.13.23.33.43.53.63.73.81.01.11.21.32.02.12.21.01.11.22.02.12.22.32.42.52.63.03.13.23.3五年級1.01.11.21.31.41.52.02.12.22.32.42.51.01.11.21.31.41.51.01.11.21.31.42.02.12.22.31.01.11.21.31.41.51.01.11.22.02.12.22.32.42.52.63.03.13.23.3六年級1.01.11.21.31.42.02.12.22.32.41.01.11.21.31.42.02.12.22.33.03.13.21.01.11.21.32.02.12.22.31.01.11.21.31.42.02.12.22.32.42.53.03.13.23.33.43.51.01.11.21.32.02.12.22.32.42.52.62.73.03.13.23.3七年級1.01.11.21.31.41.51.61.72.02.12.22.32.42.51.01.11.21.31.41.52.02.12.23.03.13.23.33.44.04.14.21.01.11.21.32.02.12.22.32.43.03.13.23.33.43.53.61.01.11.21.31.01.11.21.32.02.12.22.32.42.52.62.72.83.03.13.23.3附註：「數學推理」和其他四個主題是不一樣的。因為本主題蘊含於其他四個主題中；對於堅實的數學基礎而言，數學推理在發展基本技能和概念理解時，是最基本的內容。閱讀這份課程標準時，要牢記數學推理在每一個主題中都是重要的，因此在數學推理的主要條文中就沒有特別強調的符號。課程標準中X.X符號，是表示該年級的主要課程標準。序--幼稚園到七年級從幼稚園到七年級的數學課程，從基本教材開始並逐年增加範圍及內容。在從幼稚園到二年級，介紹數字、集合及函數時，就像倒三角形一樣，把全部的重心都放在發展核心概念。假如在低年級介紹科目時不完整，那麼日後學生將很難有所發展；他們的數學發展也將會提早停滯、被放棄，那麼我們就無從瞭解他們的潛力。由於低年級的數學教學大致是拋給學生問題，因此在學生的學習生涯中，我們所提供的題目必須是結構性縝密，而且就數學而言要是正確的。有時，看起來正確的問題，事實上可能是錯誤的，因而導致部分學生產生嚴重的誤解。例如，老師也許描述了幼稚園的代數與函數課程標準1.1：「辨識、整理、藉由屬性分類物品、以辨識出不屬於某一特定群體的物品」。首先大概說明一下，以下的練習似乎符應了上述的標準：在一張圖中有三種物品，分別是籃球、巴士及網球，並要求他們分辨哪一樣物品與其他物品不同類。上述似乎是一個非常適切的問題。雖然第二樣物品屬於另一類，然而，從數學的觀點而言，這個問題並不是一個數學問題。有一點非常清楚，除非我們界定(specified)清楚，否則這個問題不會得到一個合理的答案。上面這個例子，學生必須猜測教師的目的是否在要求學生分類物品的形體。此時我們應該要問：我們想要收集一些球，那麼我們應該要選擇物品中的哪一些呢？或者反過來問：這些物品中的哪一個不應該被包括在內？另一個方式是增加顏色，例如：將巴士與網球塗上藍色，籃球則塗上棕色。然後我們又可以問另一個問題：我們想要藍色的物品。這些物品中哪一個是我們想要的？或者是：我們想要藍色的圓形物品。這裡的哪一個是我們想要的？總之，在還未界定所求是什麼的時候，不應該提出數學課程內容相關的問題。另一個例子，統計、資料分析與機率的課程標準1.2要求學生辨識、描述以及延伸簡單的模式（包含形體、大小或顏色，如圓形、三角形、紅色或藍色）