第三章向量空间

第三章向量空间习题一向量空间一、证明集合niinnxxxxxV11210),,(是一个向量空间，并求它的一组基及其维数.二、在四维向量空间R4内，证明1=(1，1，1，1)，2=(1，1，-1，-1)，3=(1，-1，1，-1)，4=(1，-1，-1，1)构成一组基，并求向量=(1，2，1，1)在这组基下的坐标．三、设4R中的两个向量T)1,0,2,1(1,T)1,1,1,1(2线性无关，试将其扩充为4R的一组基.四、在线性空间V4中，证明下列两组向量各构成一组基．1=(1，2，-1，0)，2=(1，-1，1，1)，3=(-1，2，1，1)，4=(-1，-1，0，1)；1=(2，1，0，1)，2=(0，1，2，2)，3=(-2，1，1，2)，4=(1，3，1，2)并求由基1，2，3，4到基1，2，3，4的过渡矩阵，又如向量在基1，2，3，4下的坐标为(1，0，0，0)，求在基1，2，3，4下的坐标．习题二向量的内积一、设n维实向量,的内积组成的行列式),(),(),(),(),(G，则0),(G的充要条件是,线性相关.二、利用施密特的正交化方法，试由向量组1=110，2=011，3=101构造出一组标准正交基．三、已知向量=(1，2，-1，1)、=(2，3，1，-1)、=(-1，-1，-2，2)，求、、的长度，每个向量的内积及两个向量间的夹角．(指通常意义下的内积)．四、用施密特正交化方法将线性无关的向量组n,,,21化为正交向量组n,,21，试问这个向量组是否唯一，并证明你的结论.五、设1，2，3，4为R4的一组标准正交基，又设1=)(2143212=)(2143213=)(2143214=)(214321试证1，2，3，4也是R4的一组标准正交基。习题三正交矩阵一、若BA,均为正交矩阵，则AB是正交矩阵，并问BA是否是正交矩阵，并证明你的结论.二、设A为正交矩阵．试证其伴随矩阵A*为正交矩阵．三、已知正交矩阵A的前3列依次为T,21,21,21,21，T,21,21,21,21，T,21,21,21,21，求矩阵A四、已知dcbaA7273767273为正交矩阵，求dcba,,,的值.五、试证：若A是实对称矩阵，T正交矩阵，则ATT1也是对称矩阵.六、已知A是正交矩阵，互换A中的i行与j行得到矩阵B，证明B是正交矩阵.自测题一、选择题1．由3R的基321,,到2213,,基的过渡矩阵P为(A)100010001；（B）110010001；（C）001110010；（D）001110010.2．BA,均为n阶正交矩阵，则（A）BAAB,都是正交矩阵；（B）AB是正交矩阵，BA不是正交矩阵；（C）AB不是正交矩阵，BA是正交矩阵；（D）BAAB,都不是正交矩阵.3．设H是正交矩阵，则（A）EH；（B）1H；（C）1HHT；（D）0H.4．n维列向量n21,是nR的标准正交基的充要条件是（A）两两正交；（B）均为单位向量；（C）线性无关；（D）EnTn),(),(2121.5．设1111A，P是二阶正交阵，且20001APP，则P（A）21212121；（B）21212121；（C）21212121；（D）21212121.6．4R的向量)1,0,0,0(在基)1,0,1,1(1，)1,3,1,2(2，)0,0,1,1(3，)1,1,1,0(4之下的坐标是（A）)0,1,0,1(；（B）)0,1,0,1(；（C）)0,1,0,1(；（D）)10,0,1(.7．设向量)3,,2,1(a，)1,5,2,3(，且1),(，则（A）52；（B）53；（C）51；（D）53.二、填空题1.在向量空间V中，运算规律：(k+l)=k+l，等号左边的加号代表________加法运算，右边的加号代表________加法运算．2.在向量空间V中，运算规律：(kl)=k(l)，等号左边括号内的积代表________运算，右边括号内的积代表________运算．3.已知三维向量空间的一组基是1=(1，0，1)，2=(1，-1，0)，3=(2，1，1)，则向量=(3，2，1)在这组基下的坐标是________．4.与1=(1，-1，0，2)，2=(2，3，1，1)，3=(0，0，1，2)都正交的单位向量是________．5.已知1，2，3与1，2，3是三维向量空间的两组基，且1=1+22-3，2=2+3，3=1+32+23，则由基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵是________．6.所有2阶方阵的向量空间V的一组基是________，dimV=________．7.设A是正交矩阵，则A的行向量组是________向量组．8.设1，2，3为三维向量空间的一组基，则由基1，2，3到1，1+2，1+2+3的过渡矩阵是________．三、计算题1．将向量T），，，，12011(1，T)0,1,4,2,3(2，T)1,1,4,1,4(3，T)2,5,4,4,1(4扩充成5R一组基，并化为一组标准正交基.2．2．求线性方程组032202230432143214321xxxxxxxxxxxx的解空间的一组标准正交基.3．已知2R两个基)1,1(1，），（112和），（），，（133121求由基21、到基21、的过渡矩阵和坐标变换公式.4．TTT），，，（、），，（、），，（1111101110321是3R一组基，试用施密特正交化方法将其化成3R的标准正交基.5．4R中两个向量)1,0,1,1(1，)0,1,1,1(2求非零向量43,使21,，43,正交.6．给定3R的基TTT），，（、），，（、735101)2,2,1(321（1）将其化为3R的一组标准正交基321,,；（2）求向量T)1,,1,1(在标准正交基321,,之下的坐标.四、证明题1．与321,,都正交，试证与321,,任意线性组合均正交.2．若21,，43,是3R一组标准正交基，证明：)744(91)48(91)48(91321332123211也是的一组正交基.3．21,是2R一组基212211212211352723、、、.证明：21,与21,都是2R的基，并求21,到21,过渡矩阵.4．A是正交矩阵，则A也是正交矩阵.5．A是n阶正交矩阵，若1A，则0AE.6．证明：若n维向量空间向量与任意n维向量都正交，则是零向量.