第三章方程(组)与中考

第三章方程（组）与中考中考要求及命题趋势一元一次方程与一元一次方程组是初中有关方程的基础，在各地中考题中，多数以填空、选择和解答题的形式出现，大多考查一元一次方程及一次方程组的概念和解法，一般占5%左右。方程和方程组的应用题是中考的必考题，考查学生建模能力和分析问题和解决问题的能力，以贴进生活的题目为主。占10%左右。2007年中考将继续考查概念和解法这些基础知识，类型仍以选择、填空为主，也可能出现解答题，有时也会与一次函数、一次不等式相结合出题。一元二次方程是二次函数的一种特殊形式，两者有着密切的关系，实验区各地中考题主要以填充、选择、解答题、综合题的形式考查一元二次方程的概念、解法，一般占5%左右。2007年中考将继续以考查概念和解法为主，形式基本相同。新课标中分式方程以简化，只考查了化为一元一次方程的分式方程。大多以填空、解答题出现，以考查解法为主，一般占3%左右。2007年中考将以考查解法为主，题型仍不会变。方程和方程组的应用题是中考的必考题，近几年主要考查学生建模能力和分析问题、解决问题的能力，以贴近生活的题目为主。一般占10%左右。2007年中考仍将以生活应用题为出题方向，或者与函数综合出题。应试对策1、要弄清一元一次方程及二元一次方程组的定义，方程（组）的解（整数解）等概念。2、要熟练掌握一元一次方程，二元一次方程组的解法。3、要弄清一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系。4、要弄清一元二次方程的定义，ax+bx+c=0(a0),a,b,c均为常数，尤其a不为零要切记。5、要弄清一元二次方程的解的概念。6、要熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。7、要加强一元二次方程与二次函数之间的综合的训练。8、让学生理解化分式方程为整式方程的思想。9、熟练掌握解分式方程的方法。10、让学生学会行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析。11、让学生掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。〖知识点〗等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、简单的高次方程〖大纲要求〗1.理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；2.理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；3.会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、配方法解一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元二次方程；4.了解高次方程的概念，会用因式分解法或换元法解可化为一元一次方程和一元二次方程的简单的高次方程；5.体验“未知”与“已知”的对立统一关系。内容分析1．方程的有关概念含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的方程的解，也叫做根)．2．一次方程(组)的解法和应用只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程．解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．3.一元二次方程的解法(!)直接开平方法形如(mx+n)2=r(r≥o)的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法．(2)把一元二次方程通过配方化成(mx+n)2=r(r≥o)的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．(3)公式法通过配方法可以求得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：aacbbx242用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)因式分解法如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于O，这两个因式至少有一个为O，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．〖考查重点与常见题型〗考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有关习题常出现在填空题和选择题中。第一讲一次方程（组）及应用【回顾与思考】【例题经典】掌握一元一次方程的解法步骤例1解方程：x-12223xx【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，五步进行掌握二元一次方程组的解法例2（2006年枣庄市）已知方程组2,4axbyaxby的解为2,1.xy，求2a-3b的值．【点评】将2,1.xy代入原方程组后利用加减法解关于a，b的方程组．例3、（安徽）某电视台在黄金时段的2min广告时间内，计划插播长度为15s和30s的两种广告，15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每播1次收费1万元。若要求每种广告播放不少于2次。问：⑴两种广告的播放次数有几中安排方式？⑵电视台选择哪种方式播放收益较大？点评：本题只能列出一个二元一次方程，因此需要学生对二元一次方程的解有深刻的理解。体现了“从知识立意向能力立意转变”的新命题理念。解：（1）设15s广告播放x次，30s广告播放y次。15x+30y=120而x,y均为不小于2的正整数，∴24yx或32yx（2）方案14.4万元；方案24.2万元。一次方程的应用例1．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29cm的木条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2．5cm．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为Xcm，则x为()A．2B．2．15C．2．33D．2．36分析：考查列一元一次方程并解方程答案：A例2（2006年吉林省）据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市，一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水城市有多少座？【点评】一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题．例4.小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150m2．最后结算工钱时，有以下几种方案：方案一：按工算，每个工30元；(1个工人干1天是一个工)；方案二：按涂料费用算，涂料费用的30％作为工钱；方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元．请你帮小红家出主意，选择方案付钱最合算(最省)．分析：考查方程和方程的应用，方案一：5*10*30+4800=6300元方案二：4800*30%=1440元，方案三：12*150=1800元答案：方案二第二讲一元二次方程及应用【回顾与思考】【例题经典】掌握一元二次方程的解法例1解方程：（1）3x2+8x-3=0；（2）9x2+6x+1=0；（3）x-2=x（x-2）；（4）x2-25x+2=0例2.用换元法解方程(x-x1)2-3x+x3+2=0时，如果设x-x1=y，那么原方程可转化为()D(A)y2+3y+2=O(B)y2—3y-2=0(C)y2+3y-2=0(D)y2-3y+2=0分析：考查用换元法解方程答案：D例3.若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则p的值是．分析：一个实数的倒数是它的本身，这个实数是±1答案：±2例4.关于x的一元二次方程02cbxx的两根为11x，22x，则cbxx2分解因式的结果为_________________________；分析：考查一元二次方程和分解因式的综合。将x1、x2的值代入方程求出b、c答案：(x-1)(x-2)会判断一元二次方程根的情况例1不解方程判别方程2x2+3x-4=0的根的情况是（）A．有两个相等实数根；B．有两个不相等的实数根；C．只有一个实数根；D．没有实数根【点评】根据b2-4ac与0的大小关系来判断例2已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.点评：本题考查了解一元二次方程的解法、根的判别式、不等式的整数解等知识点。一元二次方程的应用例3（2006年包头市）某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？【点评】设2、3月份平均每月的增长率为x，即60+60（1+x）+60（1+x）2=200第三讲分式方程及应用【回顾与思考】〖知识点〗分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根〖大纲要求〗了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。内容分析1．分式方程的解法(1)去分母法用去分母法解分式方程的一般步骤是：（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；(ii)解这个整式方程；(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.(2)换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数．2．二次根式方程的解法(1)两边平方法用两边平方法解无理方程的—般步骤是：(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；(ii)解这个有理方程；(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．(2)换元法用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．〖考查重点与常见题型〗考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。【例题经典】理解分式方程的有关概念例1指出下列方程中，分式方程有（）①21123xx=5②223xx=5③2x2-5x=0④5252xx+3=0A．1个B．2个C．3个D．4个【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．掌握分式方程的解法步骤例2解方程：（1）（2006年成都市）11262213xx；（2）（2006年绍兴市）3511xx。【点评】注意分式方程最后要验根。例3.解方程：062)2(2xxxx分析：考查解分式方程答案：x1=3，x2=4/3都是原方程的根例4（1）、用换元法解分式方程3xx2－1＋x2－13x＝3时，设3xx2－1＝y，原方程变形为（）（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0（2）、用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11＝23，若设y＝x2＋8x－11，则原方程可化为（）（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0分式方程的应用例5（2006年长春市）某服装厂装备加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服．【点评】要用到关系式：工作效率＝工作量工作时间。例6某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合做，6天可以完成，共需工程费用10200元；若单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天．但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队?为什么?解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，则(a+b)×6=10200a-b=300解：设甲队独做需x天完成，则乙队独做(x+5)天完成．由题意，列方程．615x1x1整理得x2-7x-30=O．解之得x1=10，x2=-3．经检验x1'x2都是原方程的根，但x2=-3不合题意舍去．∴甲队独做需10天完成，乙队独做需15天完成．解之得a=1000b=700所以甲队独做的费用为1000×10=10000(