第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律

第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1设有一群粒子按速率分布如下：粒子数Ni24682速率Vi（m/s）1.002.003.004.005.00试求(1)平均速率V；（2）方均根速率2V（3）最可几速率Vp解：（1）平均速率：18.32864200.5200.4800.3600.2400.12V(m/s)(2)方均根速率37.322iiiNVNV(m/s)3-2计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。解：smRTVP/395103230031.8223smRTV/446103214.330031.8883smRTV/483103230031.833323-3计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。解：RTVP2代入数据则分别为：T=100K时smVP/1028.22T=1000K时smVP/1021.72T=10000K时smVP/1028.233-4某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。解：因RTV3228RTV由题意得：RT328RT∴T2/T1=833-5求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s）解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律：△N=VVeKTmNVKTm22232)2(4∵Vp2=2KTm，代入上式△N=VVVpPpeVVVN222214因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V=500m/s，又smVP/402102827331.823△V=1m/s（vvp=1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N个3-6设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。解：取分子速率为V1=3000m/sV2=1500m/s,△V1=△V2=10m/s由5题计算过程可得：△N1=12212214VVVpppeVVVN△N2=22222214VVVpppeVVVN∴△N/△N2=2121)(21)(21)()(pppVVVVpeVVeVV其中VP=331018.210257331.82m/sv1vp=1.375，v2vp=0.687∴969.0687.0375.122687.02375.1221eeNN解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，△N2dN=dVVVVpPeVN22234△N1=122100VVVVdNdNdN△N2=344300VVVVdNdNdN令Xi=vivpi=1、2、3、4利用16题结果:22)([0iixiiVexxerfNdN∴△N1=]2)([]2)([2122112xxiexxerfNexxerfN（1）△N2=]2)([]2)([23243344xxexxerfNexxerfN（２）其中VP=smRT/10182.223375.111PVVx379.122PVVx687.033PVVx6722.044PVVx查误差函数表得：erf(x1)=0.9482erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687erf(x4)=0.6722将数字代入（１）、（２）计算，再求得：703.021NN3-7试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：（1）速率在区间vp～1.0vp1内（2）速度分量vx在区间vp～1.0vp1内（3）速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3（1）由麦氏速率分布律：△N=122100VVVVdNdNdN令v2=1.01vp，vi=vp，piivvx，则111pvvx，01.122pvvx，利用16题结果可得；2122112212)(2)(xxexxerfexxerfNN查误差函数表：erf（x1）=0.8427erf（x2）=0.8468∴008.01NN（2）由麦氏速率分布律：xvvpxdvevNdNpx221∴xvvvpxvvvpdvevNdvevNNpxpx2122)(01)(012)(])(exp[1)(])(exp[12020212pxpxvvpxpxvvvvdvvvvdvvNNpp令pxvvx，111pvvx，01.122pvvx∴dxedxeNNxxxx212200211利用误差函数：dxxxpexerfx)(2)(20%21.0]8427.08468.0[21)()([21122xerfxerfNN（3）令pxvvx，由麦氏速度分布律得：zyxvvvvpdvdvdvevNdNpzyx2222331833230033108.0)002.0()(][)1(211222NNdxedxeNNxxxx3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。解：由麦氏速率分布律得：22232)2(4veKTmNdvdNvKTm将π=3.14，N=NA=6.02×1023T=100Km=32×10-3代入上式得到常数：A=eKTmNA23)2(4KTmB2∴22VAedvdNBV（1）为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：令22VAedvdNyBV则0)]2(2[222BVeVVeAdvdyBVBV得BVVP1又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0又mKTBVP11121mKTBVP22221∵T1=100K＜T2=400K∴1PV＜2PV由此作出草图3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值v1。解：VKTmemKTKTmVKTmdVemKTKTmVdVeKTmdvVfVvKTmVKTmKTmv42)()2(4)2()()2(4)2(4)(11022322022302230223-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。（1）求容器内水银蒸汽分子的平均速率。（2）每小时有多少克水银从小孔逸出？解：（1）)/(1098.11020114.337331.88823smRTV（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：tsVnN41其中KTVPVn4141是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2)2(ds是小孔面积，t=3600s，故tsVKTPN41，代入数据得：N=4.05×1019（个）∴)(1035.11005.41002.610201219233gNNmNMA3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：)(221PPARTM证明：设p1＞p2，通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。从1跑到2的分子数：tAVnN11141从2跑到1的分子数：tAVnN22241实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）)221121(41VnVnAtNNN因t=1秒，KTPn，RTV8T1=T2=T∴)(2)(841)(841212121PPARTPPRTRTAKTPKTPRTAmnmM若P2＞P1，则M＜0，表示分子实际是从2向1转移。3-12有N个粒子，其速率分布函数为)0()(0vvCNdvdNvf)(0)(0vvvf(1)作速率分布曲线。(2)由N和v0求常数C。(3)求粒子的平均速率。解：（1）)0()(0vvCvf)(0)(0vvvf得速率分布曲线如图示（2）∵1)(0dvvf∴10)(00vcdvdvvf即10cv01vc（3）02002121)(vcvdvvvfv3-13N个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v＞v0时，粒子数为零）。（1）由N和V0求a。（2）求速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数。（3）求分子的平均速率。解：由图得分子的速率分布函数：NVVa0(00VV)Na(002VVV)f(v)=0(02VV)(1)∵dvVNfdN)(∴aVaVVVaadvdVVVadVVfNNVVV0020020002321)(00032VNa(2)速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数33221)5.12()(000025.125.10000NVVNVVaadVdVVNfNVVVV3-14证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作：)(2xFdxdN其中pvvxmKTvp22224)(xexNxF证明：dxxeNvvdveNdvvevNdvveKTmNdvvNfdNxpvpvvvvpKTmvpp222323222322222224)(44)2(4)(∴)(4222xFxeNdxdNx3-15设气体分子的总数为N，试证明速度的x分量大于某一给定值vx的分子数为：)](1[2xerfNNxv（提示：速度的x分量在0到之间的分子数为2N）证明：由于速度的x分量在区间vx～vx+dvx内的分子数为：xvvpxdvevNdNvpx221故在vx～范围内的分子数为：xxxxxvvxvvVdNdNdNN00由题意：20NdNxvxvvvpvvdvevNdNpxxxx22010令pxvvx利用误差函数得：)(222002xerfNdxeNdNxxvvxx∴)](1[2)(22xerfNxerfNNNxV3-16设气体分子的总数为N，试证明速率在0到任一给定值v之间的分子数为：]2)([20xvexerfNN其中pvvx，vp为最可几速率。[提示：dxexdxexedxxx22222)(]证明：dvvvveNdvvevNdvveKTmNdvvfNNppvvvvvvpvKTmvvvpp221020322230002222244)2(4)(令pvvX，则dxvdvp∴dxxeNNxxv20024由提示得：])([21222xxeddxedxxexxx∴]2)([)]([214222000xxxxxvexerfNxeddxeNN3-17求速度分量vx大于2vp的分子数占总分子数的比率。解：设总分子数N，速度分量vx大于2vp的分子数由15题结果得：)](1[22xerfNNxv其中22pppvvvvx可直接查误差函数表得：erf（2）=0.9952也可由误差