第三章第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式

1第三章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式题组一三角函数的化简、求值1.2cos10°－sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.2解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.答案：C2.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是()A．4cos4－2sin4B．2sin4C．2sin4－4cos4D．－2sin4解析：原式＝4cos24＋2(sin4－cos4)2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，∵5π4＜4＜3π2，∴cos4＜0，sin4＜cos4.∴原式＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.答案：D3．(2010·辽宁模拟)已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)＝________.解析：∵tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，∴tanβ＝1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)．又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tanπ4＝1.答案：1题组二给值求值问题4.sin(π4－x)＝35，则sin2x的值为()2A.725B.1425C.1625D.1925解析：∵sin(π4－x)＝35，∴22cosx－22sinx＝22(cosx－sinx)＝35.∴cosx－sinx＝325.∴(cosx－sinx)2＝1－sin2x＝1825，∴sin2x＝725.答案：A5．已知α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋5π12)的值为()A.22＋36B.22－36C．－22＋36D.－22＋36解析：∵α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，∴cos(α＋π12)＝－223，∴cos(α＋5π12)＝cos[(α＋π12)＋π3]＝cos(α＋π12)cosπ3－sin(α＋π12)sinπ3＝(－223)·12－13·32＝－22＋36.答案：C6．已知cosx－π4＝210，x∈π2，3π4.(1)求sinx的值；(2)求sin2x＋π3的值．解：(1)法一：因为x∈π2，3π4，所以x－π4∈π4，π2，sinx－π4＝1－cos2x－π4＝7210.sinx＝sin[x－π4＋π4]＝sin(x－π4)cosπ4＋cos(x－π4)sinπ43＝7210×22＋210×22＝45.法二：由题设得22cosx＋22sinx＝210，即cosx＋sinx＝15.又sin2x＋cos2x＝1，从而25sin2x－5sinx－12＝0，解得sinx＝45或sinx＝－35.因为x∈π2，3π4，所以sinx＝45.(2)因为x∈π2，3π4，故cosx＝－1－sin2x＝－1－452＝－35.sin2x＝2sinxcosx＝－2425，cos2x＝2cos2x－1＝－725.所以sin2x＋π3＝sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3＝－24＋7350.题组三给值求角问题7.已知A、B均为钝角，且sinA＝55，sinB＝1010，则A＋B等于()A.5π4B.7π4C.5π4或7π4D.9π4解析：由已知可得cosA＝－255，cosB＝－31010，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝22，又∵π2＜A＜π，π2＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π，∴A＋B＝7π4.答案：B8．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°4解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37，∴sin(A＋B)＝sinC＝12，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°.答案：A9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝210，cosβ＝255.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝1－cos2α＝7210，同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.题组四公式的综合应用10.(2010·晋城模拟)已知向量a＝(sin(α＋π6),1)，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sin(α＋4π3)等于()A．－34B．－14C.34D.14解析：a·b＝4sin(α＋π6)＋4cosα－3＝23sinα＋6cosα－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，5∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.答案：B11．已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值为________．解析：∵cos(α－π6)＋sinα＝32cosα＋32sinα＝453，∴12cosα＋32sinα＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－(32sinα＋12cosα)＝－45.答案：－4512．(文)已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，3sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝OMON(O为坐标原点)．(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，π2]上的最小值．解：(1)依题意得：OM＝(1＋cos2x,1)，ON＝(1，3sin2x＋a)，∴y＝1＋cos2x＋3sin2x＋a＝2sin(2x＋π6)＋1＋a.∴f(x)的最小正周期为π.(2)若x∈[0，π2]，则(2x＋π6)∈[π6，7π6]，∴－12≤sin(2x＋π6)≤1，此时ymax＝2＋1＋a＝4，∴a＝1，ymin＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(12，－12)．(1)若a·b＝22，a·c＝3－14，求角2β－α的值；(2)若a＝b＋c，求tanα的值．解：(1)∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)6＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝22，①a·c＝(cosα，sinα)·(12，－12)＝12cosα－12sinα＝3－14，②又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a＝b＋c可得cosβ＝cosα－12，③sinβ＝sinα＋12，④③2＋④2得cosα－sinα＝12，∴2sinαcosα＝34.又∵2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝34，∴3tan2α－8tanα＋3＝0.又∵α为锐角，∴tanα＞0，∴tanα＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.