第三章第6节简单的三角恒等变换

1第三章第六节简单的三角恒等变换题组一三角函数求值1.如果α∈(π2，π)，且sinα＝45，那么sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝()A.425B．－425C.325D．－325解析：∵sinα＝45，π2＜α＜π，∴cosα＝－35，而sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π2)＝2cosα＝－325.答案：D2．(2010·平顶山模拟)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为()A.54B.2C．1D.32解析：由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A＝－cos2A＋2cosA＋1.又0＜A＜π2，0＜cosA＜1.∴cosA＝12时，有最大值32.答案：D3．在△ABC中，已知cos(π4＋A)＝35，则cos2A的值为________．解析：cos(π4＋A)＝cosπ4cosA－sinπ4sinA＝22(cosA－sinA)＝35，∴cosA－sinA＝325＞0.①∴0＜A＜π4，∴0＜2A＜π2①2得1－sin2A＝1825，∴sin2A＝725.∴cos2A＝1－sin22A＝2425.答案：242524．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.(1)求f(π4)的值；(2)设α∈(0，π)，f(α2)＝22，求sinα的值．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x，∴f(π4)＝sinπ2＋cosπ2＝1.(2)∵f(α2)＝sinα＋cosα＝22.∴sin(α＋π4)＝12，cos(α＋π4)＝±32.sinα＝sin(α＋π4－π4)＝12×22－(±32)×22＝2∓64.∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝2＋64.题组二三角函数式的化简与证明5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是()A．(－π4，π4)B．(0，π2)C．(π4，3π4)D．(π2，π)解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(π2，π)．答案：D6．化简2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α等于()A．1B．－1C．cosαD．－sinα解析：原式＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α·sin2π4＋α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝1.答案：A7．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是()A．2B．4C．8D．163解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝tan21°＋tan24°1－tan21°tan24°，∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°，即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1，∴(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2，同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2，∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4.答案：B8．求证：tan2x＋1tan2x＝2(3＋cos4x)1－cos4x.证明：左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x14sin22x＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x18(1－cos4x)＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－cos4x＝4＋2(1＋cos4x)1－cos4x＝2(3＋cos4x)1－cos4x＝右边．∴tan2x＋1tan2x＝2(3＋cos4x)1－cos4x.题组三三角恒等变换的综合应用9.(2010·大连模拟)若0≤α≤2π，sinα＞3cosα，则α的取值范围是()A．(π3，π2)B．(π3，π)C．(π3，4π3)D．(π3，3π2)解析：sinα＞3cosα，即sinα－3cosα＞0，即2sin(α－π3)＞0，即sin(α－π3)＞0.又0≤α≤2π，故－π3≤α－π3≤5π3.4综上，0＜α－π3＜π，即π3＜α＜4π3.答案：C10．已知sinαcosβ＝12，则cosαsinβ的取值范围是________．解析：法一：设x＝cosαsinβ，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋x，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝12－x.∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴－1≤12＋x≤1，－1≤12－x≤1，∴－32≤x≤12，－12≤x≤32.∴－12≤x≤12.法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝12x.即sin2αsin2β＝2x.由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－12≤x≤12.答案：[－12，12]11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)一个周期的图象如图所示．(1)求函数f(x)的表达式；(2)若f(α)＋f(α－π3)＝2425，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A＝1.函数f(x)的周期为T＝4×(π12＋π6)＝π.而T＝2πω，则ω＝2.又x＝－π6时，y＝0，∴sin[2×(－π6)＋φ]＝0.而－π2＜φ＜π2，则φ＝π3，∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋π3)．5(2)由f(α)＋f(α－π3)＝2425，得sin(2α＋π3)＋sin(2α－π3)＝2425，即2sin2αcosπ3＝2425，∴2sinαcosα＝2425.∴(sinα＋cosα)2＝1＋2425＝4925.∵2sinαcosα＝2425＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝75.6