第三章课后习题分析

第三章课后习题分析3-1(1)时间响应的基本概念。瞬态响应和稳态响应的基本概念。见书本P46(2)时间响应的瞬态响应反映系统哪方面的性能？稳态响应反映哪方面的性能。见书本P463-2假设温度可用1/(Ts+1)传递函数描述其特性。现用该温度计测量某容器中的水温，发现1min后才显示水温的96%，问：(1)该温度计的只是从实际水温的10%变化到90%所需的时间是多少？(2)如果给该容器加热，使容器内水温以0.1℃/s的速度均匀上升，当定义误差e(t)=r(t)-c(t)时，温度计的稳态指示误差有多大？解：(1)根据温度计的数学模型，则其阶跃响应为：c(t)=1−e−tT当温度计测量水温时，1min后显示水温的96%，则有：c(t)|t=60=0.96即：e−60T=0.04求解方程式的：T=18.6s令温度计上升至实际水温10%的时刻为t1，上升至实际水温10%的时刻为t2，有：e−t118.6=0.9e−t218.6=0.1求解得到：t1=2.0s，t2=42.8s所以，温度计上升时间tr=t2-t1=40.8s(2)容器内水温以0.1℃/s的速度均匀上升，则系统输入表示为：r(t)=0.1t，则其拉式变换为：R(s)=0.1s2误差为：e(t)=r(t)-c(t)，其拉式变换为：E(s)=R(s)−G(s)R(s)=(1−118.6s+1)0.1s2=1.86s(18.6s+1)应用拉式变换终值定理，则系统稳态误差ess为：ess=lims→0sE(s)=lims→0sE(s)=1.8618.6s+1|s=0=1.86所以，此时温度计的稳态指示误差有1.86℃3-9图3-17a所示为机械振动系统，当系统受到F=10N的恒力作用时，y(t)的变化如图3-27b所示。试确定系统的m、f和k的值。解：由3-17a所示的机械振动系统，根据牛顿第二定律，建立微分方程如下：my′′(t)+fy′(t)+ky(t)=F则系统的传递函数为：G(s)=Y(s)F(s)=1ms2+fs+k=1/ms2+fms+km转换为二阶标准形式：2222)(nnnssKsG其中：kKmkfmkn12，，当系统输入10N的恒力时即ssF10)(，阶跃响应图3-27b，由图可知：系统稳态值Ness06.0，峰值时间stp3，超调量：3106.006.008.0NNNMp，因此有：06.010102)(22200limlimKsssKsssYennnssss312npt3121eMp解方程组得：11.1,33.0006.0nK，，所以：006.0133.0211.1kKmkfmkn，，解得：7.166,1.99,3.135kfm3-11已知单位负反馈系统的开环传递函数为)1(TssK，且其单位阶跃响应为：)0(31341)(82teetctt(1)确定K、T的值。(2)求系统的单位脉冲响应。解：对单位阶跃响应进行拉式变换得：)8)(2(16813121341)(sssssssC则系统闭环传递函数为：)8)(2(16/1)8)(2(16)()()(sssssssRsCsGc(1)已知系统开环传递函数)1()(TssKsG，则系统闭环传递函数为：TKTssTKsGsGsGc///)(1)()(2对比前分析结果，则有：1.0,6.1TK。(2)系统单位脉冲响应为：82)8)(2(161)()(21sksksssGsYc其中1k、1k待定系数，应用部分分式法：38|)2()(21sssYk38|)8()(82sssYk所以：83/823/8)(sssY系统单位脉冲响应为：)0(3838)(82teetytt3-17对于如下特征多项式D(s)或开环传递函数G(s)H(s)的反馈控制系统，求系统稳定时K的取值范围：(1)KsssssD21022)(234(2)504)5.0()(23KssKssD(3))6)(3()()(sssKsHsG(4))3)(8.0)(5.0()2()()(sssssKsHsG解：(1)提供的系统特征方程为：021022234Kssss，建立劳斯表：s4110Ks3222s29.9Ks119.8−22K9.9s0K要保证系统稳定，根据劳斯判据，则有：19.8−22K0;𝐾0因此：0𝐾0.9(2)提供的系统特征方程为：0504)5.0(23KssKs，建立劳斯表：s314Ks2K+0.550s14K2+2K−50K+0.5s050要保证系统稳定，根据劳斯判据，则有：K+0.50;4K2+2K−500;𝐾0解得：K4.76(3)系统特征方程为：0)6)(3(Ksss；展开为：018923Ksss，建立劳斯表：s3118s29Ks1162−K9s0K要保证系统稳定，根据劳斯判据，则有：162−K0;𝐾0因此：0𝐾162(4))3)(8.0)(5.0()2()()(sssssKsHsG系统特征方程为：0)2()3)(8.0)(5.0(sKssss；展开为：02)2.1(3.43.4234KsKsss，建立劳斯表：s414.32Ks34.3K+1.2s217.29−K4.32Ks1−K2−19.89K+20.7517.29−Ks02K要保证系统稳定，根据劳斯判据，则有：17.29−K0;𝐾0;K+1.20;−K2−19.89K+20.750因此：0𝐾0.99363-29两个单位反馈控制系统的开环传递函数如下。试求静态误差系统pK、vK、aK的值，并求当输入信号241)(tttr为时系统的稳态误差，以及系统对输入信号tttr2sin)(的稳态响应值。(1))15.0)(11.0(10)(ssssG(2))12.0)(1(10)(ssssG解：(1)该系统属于Ⅰ型系统00|)15.0)(11.0(10)(limsspssssGK10|)15.0)(11.0(10)(00limssvssssssGK0|)15.0)(11.0(10)(0220limssasssssGsK当输入信号为222124141)(tttttr时，其稳态误差为02104112411avpssKKKe当输入信号为：tttr2sin)(，该输入信号由速度信号和正弦信号组合而成，根据线性性质，该系统稳态响应由速度信号的稳态响应)(1tyss和正弦输入的稳态响应)(2tyss组成。该系统的闭环传递函数为：2002012200)15.0)(11.0(101)15.0)(11.0(10)(1)()(23ssssssssssGsGsGc单位速度输入信号的系统输出为：22321120020122001)()(ssssssGsYc其稳态响应可表达为：sksksYss2211)(其中1k、1k待定系数，应用部分分式法：1|)(0211sssYk1.0|)2002012()20243(200|])([022320212sssssssdsssYdk所以：sssYss1.01)(21正弦输入信号的系统输出为：42200201220022)()(223222ssssssGsYc其稳态响应可表达为：22)(432jskjsksYss其中3k、4k待定系数，应用部分分式法：j0.63+-0.13|222002012200|)2()(223223jsjsjssssjssYkj0.63--0.13|222002012200|)2()(223224jsjsjssssjssYk所以：426.126.0263.013.0263.013.0)(22ssjsjjsjsYss426.126.01.01)()()(2221sssssYsYsYssssss对上式开展拉式逆变换：)4.222sin(1.02sin63.02cos26.01.0)()()(21ttttttytytyssssss(2)该系统属于Ⅰ型系统00|)12.0)(1(10)(limsspssssGK10|)12.0)(1(10)(00limssvssssssGK0|)12.0)(1(10)(0220limssasssssGsK当输入信号为222124141)(tttttr时，其稳态误差为02104112411avpssKKKe当输入信号为：tttr2sin)(，该输入信号由速度信号和正弦信号组合而成，根据线性性质，该系统稳态响应由速度信号的稳态响应)(1tyss和正弦输入的稳态响应)(2tyss组成。该系统的闭环传递函数为：505650)12.0)(1(101)12.0)(1(10)(1)()(23ssssssssssGsGsGc单位速度输入信号的系统输出为：2232115056501)()(ssssssGsYc其稳态响应可表达为：sksksYss2211)(其中1k、1k待定系数，应用部分分式法：1|)(0211sssYk1.0|)5056()5123(50|])([022320212sssssssdsssYdk所以：sssYss1.01)(21正弦输入信号的系统输出为：4250565022)()(223222ssssssGsYc其稳态响应可表达为：22)(432jskjsksYss其中3k、4k待定系数，应用部分分式法：j0.96+-0.07|22505650|)2()(223223jsjsjssssjssYkj0.96--0.07|22505650|)2()(223224jsjsjssssjssYk所以：492.114.02j0.96-0.07-2j0.960.07-)(22ssjsjssYss492.114.01.01)()()(2221sssssYsYsYssssss对上式开展拉式逆变换：)3.82sin(1.02sin96.02cos14.01.0)()()(21ttttttytytyssssss附：对系统进行稳定性分析：)12.0)(1(10)(ssssG系统特征方程为：0102.12.023sss，建立劳斯表：s30.21s21.210s1−23s010劳斯表第一列系数出现符号变化，该系统不稳定。