第三章随机变量的数字特征

第三章随机变量的数字特征3.1数学期望前面介绍了随机变量的概率分布，它们虽然全面、完整地反映、表达了随机变量的概率性质，但在许多情形下，特别是在许多实用场合，往往不可能或不必要完全、确切地掌握随机变量的全部概率特征，而只能或只需知道随机变量的某些数字特征，在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中，最重要的就是数学期望、方差以及各阶的矩。1．离散随机变量的数学期望离散随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(=xi)之积的和称为的数学期望.记作.实际上是随机变量的平均取值的含义.当此和是无穷级数时，要求其绝对收敛，使其和与各项的排列次序无关.例1从一个装有m个白球和n个红球的袋中取球，直到出现白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望.解设取出的红球数为X，则X的分布律为.,2,1,0k,nmmnmn)kX(Pk令,nmmq,nmnp则,,2,1,0k,qp)kX(Pk于是110)(kkkkkppqqkpXE.)1(2mnqpppq2连续随机变量的数学期望设连续随机变量的概率密度为，因为落在小区间的概率近似等于.假设广义积分收敛，则的数学期望定义为注：当数学期望相应的无穷级数或广义积分不绝对收敛时，数学期望就不存在.例有5个相互独立工作的电子装置，其寿命)5,4,3,2,1k(Xk服从同一指数分布，分布函数为0x,0.0,0x,e1)x(Fx若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命M的数学期望。解由随机变量函数的分布可知)X,X,X,X,Xmin(N54321的分布函数为0x,00x,e1)]x(F1[1)x(Fx55N其密度函数为0x,00x,e5)x(fx5N故51dxe5xdx)x(xf)N(E0x5N例设随机变量X服从柯西(Cauchy)分布,其密度函数为xxxf,)1(1)(2试证X的数学期望不存在。证因为dxxxdxxfx)1(||)(||202)1(2dxxx0)1ln(12x,即dxxxf)(不绝对收敛，所以)(xE不存在。二维随机变量的数学期望（手写）3.2随机变量函数的数学期望1离散随机变量函数的数学期望设离散随机变量的概率分布为P(=xi)=p(xi),(i=1,2,...),若其函数η=f(ξ),则随机变量η的数学期望定义为例1设随机变量ξ的概率分布为ξ-2-10123p(xi)0.100.200.250.200.150.10求随机变量η=ξ2的数学期望.解2连续随机变量函数的数学期望设连续随机变量的概率密度为，若其函数η=f(ξ),则随机变量η的数学期望定义为注：①当数学期望相应的无穷级数或广义积分不绝对收敛时，数学期望就不存在；例（见课本P92例2）设Z是随机变量X,Y的函数),(YXgZ(g为连续函数)，则Z也是一个随机变量.若),(YX为离散型随机变量，且其联合分布律为...,2,1j,i,p)yY,xX(Pijii则有.p)y,x(g)]Y,X(g[E)Z(E1i1jijii若)Y,X(为连续型随机变量，且其联合密度函数为)y,x(f，则有.dxdy)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E)Z(E这里要求等式右端的级数或积分都是绝对收敛的例9设二维随机变量),(YX的密度函数为其他,01y0,2x0),y31(x41)y,x(f2求、)(XE、)(YE)(XYE解10202)31(41)(dxdyyxxXE.34)31(41202102dyydxx10202)31(41)(dxdyyxyYE.85)31(4120210dyyydxx10202)31(41)(dxdyyxxyXYE.65)31(41202102dyyydxx3.3数学期望的性质现在给出数学期望的几个常用性质。在下面的讨论中，所遇到的随机变量的数学期望均假设存在，且只对连续型随机变量给予证明，至于对离散型随机变量的证明只需将积分换为类似的求和即可。1.设C为常数，则有.)(CCE证可将C看成离散型随机变量，分布律为.1)(CXP故由定义即得.)(CCE2.设C为常数，X为随机变量，则有).()(XCECXE证设X的密度函数为)(xf，则有dxxxfCdxxCxfCXE)()()()(XCE3.设YX,为任意两个随机变量，则有).()()(YEXEYXE证设二维随机变量),(YX的密度函数为),(yxf，边缘密度函数分别为），（、yfxfYX)(,则dxdyyxfyxYXE），（）（）（dxdyyxxf），（dxdyyxyf），（dxxxfX）（dxyyfY）（.）（）（YEXE这一性质可以推广到任意有限多个随机变量之和的情形,即).(...)()()...(2121nnXEXEXEXXXE一般地，随机变量线性组合的数学期望，等于随机变量数学期望的线性组合，即)...(2211nnXaXaXaE=).(...)()(2211nnXEaXEaXEa其中naaa,...,21为常数。4.设YX,为相互独立的随机变量，则有).()()(YEXEXYE证因为X与Y相互独立，其联合密度函数与边缘密度函数满足)()(),(yfxfyxfYX，所以dxdyyxxyfXYE），（）（dxdyyfxxyfYX)(）（][dxxxfX）（][dxxyfY）（).()(YEXE这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，即若nXXX,...,,21为相互独立的随机变量，则有).()...()()...(2121nnXEXEXEXXXE3.4方差与标准差有一批灯泡，其平均寿命E(X)=1000小时，但仅由这一指标还不能判断这一批灯泡质量的好坏，我们还需考察灯泡寿命X与E(X)的偏离程度，若偏离程度较小，则灯泡质量比较稳定。因此，研究随机变量与其平均值的偏离程度是十分重要的。为了描述随机变量的取值在其数学期望周围的分散程度，我们需要引入随机变量的另外一个数字特征————方差.离差的概念设ξ是一个随机变量，令η=ξ-Eξ,则称η为ξ的离差.它反映了ξ与其数学期望Eξ的偏离程度.根据数学期望的性质Eη=E(ξ-Eξ)=Eξ-Eξ=0即随机变量的离差的数学期望恒为零.通常我们用随机变量ξ离差的平方的数学期望来描述随机变量ξ的分布的分散程度，并把其称为ξ的方差，记作Dξ:Dξ=E(ξ-Eξ)2对于离散随机变量，对于连续随机变量，Dξ是一个非负的数，Dξ较小时，表示ξ的取值比较集中在Eξ的附近.反之,Dξ较大时，表示ξ的取值比较分散.方差的常用计算公式直接由定义计算方差有时比较麻烦，往往可用下面的公式来化简计算：证明：利用数学期望的性质即可证明此公式：例2设随机变量ξ服从“0-1”分布，P(ξ=1)=p，求Dξ.解，,例3设随机变量ξ服从均匀分布，其密度函数为：解，标准差(均方差)的概念称为随机变量ξ的标准差(均方差)，并记作，方差的性质假定下面所遇到的随机变量的方差均存在。1.设C为常数，则D(C)=0。证0)]([)()(2222CCCECEXD.2.设X为随机变量，C为常数，则有)()(2XDCCXD.证).(]))(()([)]([)()(2222222XDCXEXECCXEXCECXD3.设随机变量X与Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)。证)].()][([2)()()]()][([2)()()]()][([2)]([)]([))](())([()]()[()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD因为),()()()()()()()()()()]()()()([)]()][([YEXEXYEXEYEYEXEYEXEXYEYYEYXEYEXEXYEYEYXEXE由于X与Y相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)，故E[X-E(X)][Y-E(Y)]=0,所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)。性质3可推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情形。即若nXXX,,,21相互独立，则有).()()()(2121nnXDXDXDXXXD若X与Y是相互独立的随机变量，21,CC为常数，则有).()()(222121YDCXDCYCXCD特别地，D(X-Y)=D(X)+D(Y)。例已知随机变量ξ的数学期望为Eξ，标准差为σ0，设,试证明：Eη=0，Dη=1.证:需注意到Eξ和σ都是常数，利用数学期望及方差的性质得3.5某些常用分布的数学期望1超几何分布的数学期望与方差(略)设随机变量，则应用组合公式和，得类似地可得故2．二项分布的数学期望与方差设随机变量，则应用组合公式，得故泊松分布的数学期望与方差设随机变量，则再计算，故均匀分布的数学期望与方差设随机变量，则再计算.故指数分布的数学期望与方差（函数性质见P83）设随机变量，则令,得再计算，令,得故（待讲）正态分布的数学期望与方差设随机变量，则令,得令,得故