第三节分部积分法

经济数学---微积分教案山东女子学院1第三节分部积分法教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法。教学重点：不定积分的分部积分法。教学难点：分部积分法中u与dv的选取。教学时数：2设)(xuu，)(xvv，则有vuvuvu)(或dvuduvvud)(两端求不定积分，得dxvudxuvdxvu)(或dvuduvvud)(即duvvudvu(3-1)或dxuvvudxvu(3-2)公式(3-1)或(3-2)称为不定积分的分部积分公式。例1：求xdxxcos解：xxdxdxxsincossinsinxxxdxsincosxxxC例2：求dxexx2解：xxdexdxex2222xxxeedx22xxxexedx22()xxxxexeedx222xxxxexeeC评注：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u，其余部分取为dv。例3:求xdxxln解：2ln21lnxdxxdxx221lnln2xxxdx21ln2xxxdx2211ln22xxxC2211ln24xxxC例4:求xdxxarctan经济数学---微积分教案山东女子学院2解：22211arctanarctanarctanarctan22xxdxxdxxxxdx2221arctan21xxxdxx2211arctan(1)21xxdxx21arctanarctan2xxxxC评注：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为u，其余部分取为dv。例5：求xdxexsin解：sinsinsinsinsincosxxxxxxexdxxdeexedxexexdxsincossin(coscos)xxxxxexxdeexexedxsincossinxxxexexexdx因此得)cos(sinsin2xxexdxexx，即Cxxexdxexx)cos(sin21sin例6：求dxex解：令tx，则2tx，tdtdx2，因此2222(1)xttttxedxetdttedtteeCexC