第三讲与一元一次方程有关的问题(部分含答案)

第三讲：与一元一次方程有关的问题一、知识回顾一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。典型例题：二、典型例题例1．若关于x的一元一次方程2332xkxk=1的解是x=-1，则k的值是（）A．27B．1C．-1311D．0分析：本题考查基本概念“方程的解”因为x=-1是关于x的一元一次方程2332xkxk=1的解，所以12313)1(2kk，解得k=-1311例2．若方程3x-5=4和方程0331xa的解相同，则a的值为多少？分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。解：3x-5=4，3x=9，x=3因为3x-5=4与方程0331xa的解相同所以把x=3代人0331xa中即03331a得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2例3.（方程与代数式联系）a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算bcaddcba.（1）则2121的值为；（2）当185)1(42x时，x=.分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，因为bcaddcba，所以2121=2-（-2）=4（2）由185)1(42x得：10-4（1-x）=18所以10-4+4x=18，解得x=3例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A．baaB．babC．habD．hah分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题解：设墨水瓶的底面积为S，则左图中墨水的体积可以表示为Sa设墨水瓶的容积为V，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb于是，Sa=V-Sb，V=S(a+b)由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为baabaSSaVSa)(例5．小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。分析：“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+21解：设开始时，每队有x人在排队，2分钟后，B窗口排队的人数为：x-6×2+5×2=x-2根据题意，可列方程：216224xx去分母得3x=24+2(x-2)+6去括号得3x=24+2x-4+6移项得3x-2x=26解得x=26不考虑瓶子的厚度.所以，开始时，有26人排队。课外知识拓展：一、含字母系数方程的解法：思考：bax是什么方程？在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以bax不是一元一次方程我们把它称为含字母系数的方程。例6．解方程bax解：（分类讨论）当a≠0时，abx当a=0，b=0时，即0x=0，方程有任意解当a=0，b≠0时，即0x=b，方程无解即方程bax的解有三种情况。例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。解：将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4当2+b0，即b-2时，方程有唯一解bax24，当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解，当2+b=0且a-4≠0时，即b=-2且a≠4时，方程无解，例8．解方程11xxababab分析：根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b去括号，得bx-b-a+ax=a+b移项，并项得(a+b)x=2a+2b当a+b≠0时，babax22=2当a+b=0时，方程有任意解说明：本题中没有出现方程bax中的系数a=0，b≠0的情况，所以解的情况只有两种。二、含绝对值的方程解法例9．解下列方程523x解法1：（分类讨论）当5x-20时，即x52，5x-2=3，5x=5，x=1因为x=1符合大前提x52，所以此时方程的解是x=1当5x-2=0时，即x=52，得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解当5x-20时，即x52，5x-2=-3，x=51因为x=51符合大前提x52，所以此时方程的解是x=51综上，方程的解为x=1或x=51注：求出x的值后应注意检验x是否符合条件解法2：（整体思想）联想：3a时，a=±3类比：523x，则5x-2=3或5x-2=-3解两个一元一次方程，方程的解为x=1或x=51例10．解方程21513x解：去分母2|x-1|-5=3移项2|x-1|=8|x-1|=4所以x-1=4或x-1=-4解得x=5或x=-3例11．解方程121xx分析：此题适合用解法2当x-10时，即x1，x-1=-2x+1，3x=2，x=32因为x=32不符合大前提x1，所以此时方程无解当x-1=0时，即x=1，0=-2+1，0=-1，此时方程无解当x-10时，即x1，1-x=-2x+1，x=0因为x=0符合大前提x1，所以此时方程的解为x=0综上，方程的解为x=0三、小结1、体会方程思想在实际中的应用2、体会转化的方法，提升数学能力