第三讲函数的方程与迭代

第三讲函数的方程迭代1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M上并在M上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下：f(1)(x)=f(x)(x∈M)f(n)(x)=f(f(n-1)(x))(x∈M)(n≥2)f(n)(x)称为函数f(x)的n次迭代。有时还规定f(0)(x)=f(x)(x∈M)2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？问题：一个老人有n头马，他打算把a1分给大儿子，b1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足Abc,a|n+1,b|n+1,c|n+1,(a1+b1+c1)(n+1)=n问老人的马的匹数n有多少种可能分法？显然就是求方程a1+b1+c1=1nn满足条件abc且a|n+1,b|n+1,c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x的小数部分函数y={x},{x}=x－[x]。图象：性质：①y=[x]的定义域为R，值域为Z，y={x}定义域为R，值域为[0,1)，是周期函数。xyo123321-1-1-2-2-3-3xyo123321-1-1-2-2-3-3y=[x]y={x}②对任意实数x，有x－1[x]≤[x]+1；③[x]是不减函数，即当x≤y时，有[x]≤[y]；④[x+m]=[x]+mm∈Z；⑤对一切实数x,y有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1,{x+y}≤{x}+{y}；⑥若x≥0,y≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦[－x]=不是整数　为整数　　　xxxx1][][⑧若n∈N*,x∈R，则[nx]≥n[x]；⑨nx=nx][，其中x∈(0,+∞),n∈N*；⑩把n!中素数p的最高次记为p(n!)，则p(n!)=pn+2pn+…+kpn，这里pk≤n≤pk+1；取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。而在计算机的理论上，高斯函数具有特别重要的地位。由于它知识少，而技巧性强，所以经常出现在国际、国内的竞赛的试卷上。一、填空题1．已知f(x)+2f(x1)=3x，则f(x)的解析式为。解析：f(x)=x2-x2．已知f(x)=ax2+bx+c，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)=。解析：f(x)=21x2+21x二、解答题3．设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}。①求证：AB；②如果A={－1,3}，求B。解析：①设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A∵A={x|x=f(x)}∴x0=f(x0)f[f(x0)]=f(x0)=x0x0∈B∴AB②∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x}={x|x2+(p-1)x+q=0}∴qp3)1()1(3131qpf(x)=x2-x-3∵f[f(x)]=xx4-2x3-6x2+6x+9=0(x2-2x-3)(x2-3)=0x=-1或3或3或-3∴B={-1,3,-3,3}。4．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1－x，求g(6)的值。解析：反复利用②∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5(*)∴f(x+5)=f(x)+5∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=15．已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。①求f(x)的解析式；②是否存在实数m，n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]？如果存在，求出m,n的值；如果不存在，请说明理由。解析：①∵方程f(x)=2x有等根⊿＝0b=2∵f(x－1)=f(3－x)f(x)=f(2-x)图象的对称轴为x=-ab2=1a=-1∴f(x)=-x2+2x②f(x)=-(x-1)2+1≤1∴4n≤1n≤41∵抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1∴n≤41时，f(x)在[m,n]上为增函数若满足题设条件的m,n存在，则nnfmmf4)(4)(2020nnmm或或∵mn≤41∴m=-2,n=0，这时定义域为[-2,0]，值域为[-8,0]∴存在m=-2,n=0，满足条件。6．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x,y为任意实数；③任意正实数x,y满足xy时，f(x)f(y)。试求下列问题：（1）求f(1),f(4)；（2）试判断函数f(x)的单调性；（3）如果f(x)+f(x－3)≤2，试求x的取值范围。解析：①f(1)=0,f(4)=2；②增函数；③(3,4]。7．已知函数f(x)=6x－6x2，设函数g1(x)=f(x),g2(x)=f[g1(x)],g3(x)=f[g2(x)],…,gn(x)=f[gn-1(x)],…。①求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N*,gn(x0)=x0都成立；②若实数x0，满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。③设区间A=(-∞,0)，对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a0,g2(x)=f[g1(x)]=f(0)0，且n≥2时，gn(x)0。试问是否存在区间B(A∩B≠)，对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)0？解析：①数学归纳法：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；当n=k时，在gk(x0)=x0(k∈N*)成立，则gk+1(x0)=f[gk(x)]=f(x0)=g1(x0)=x0，即当n=k+1时，命题成立。∴对一切n∈N*，若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0。②由①知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0，∵f(x0)=x06x0－6x02=x0x0=0或x0=65。③∵f(x)06x－2x20x0或x1∴gn(x)0f[gn-1(x)]0gn-1(x)0或gn-1(x)1要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)0，必须有g1(x)0或g1(x)1∵g1(x)06x－2x20x0或x1g1(x)16x－2x21633x633∴对于区间(-∞,0),(633,633)和(1,+∞)内的任意x，只要n≥2,n∈N*，都有gn(x)0。8．对于函数y=f(x)，若存在实数x0，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点。已知F1(x)=f(x),F2(x)=f[F1(x)],F3(x)=f[F2(x)],…,Fn(x)=f[Fn-1(x)](n∈N*,n≥2)。①若f(x)存在不动点，试问F2(x),F3(x),…,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。②设f(x)=2x-x2。求使所有Fn(x)0（n∈N*,n≥2）成立的所有正实数x值的集合。解析：①y=f(x)存在不动点x0，则f(x0)=x0，下证x0是Fn(x)的不动点。∵F2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0∴x0也是F2(x)的不动点。若Fn-1(x)存在不动点x0，即Fn-1(x0)=x0∴Fn(x0)=f[Fn-1(x0)]=f(x0)=x0Fn(x)存在不动点x0综上所述：对于任意n∈N*,n≥2，Fn(x)都存在不动点，并且有相同的不动点。②方法一：∵f(x)02x－x20x0或x2∵要使Fn(x)0(n≥2)f[Fn-1(x)]02Fn-1(x)－[Fn-1(x)]20Fn-1(x)0或Fn-1(x)2依此类推，要使F2(x)0f[F1(x)]0f[f(x)]02f(x)－[f(x)]20f(x)0或f(x)22x－x20或2x－x22x0(舍去)或x2或x∈x2∴所求x的取值范围为(2,+∞)。9．设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1。①求证：f(0)=1，且当x0时，有f(x)1；②判断f(x)在R上的单调性；③设集合A={(x,y)|f(x2)·f(y2)f(1)}，集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围。解析：①∵f(m+n)=f(m)·f(n)且当x0时，0f(x)1∴f(1)=f(1)f(0)f(0)=1设m=x0,n=-x0∴f(0)=f(x)f(-x)f(x)=)(1xf1②设x1x2x2-x100f(x2-x1)1∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]0∴f(x)在R上单调递减③∵f(x2)·f(y2)f(1)f(x2+y2)f(1)x2+y21∵f(ax-y+2)=1=f(0)ax-y+2=0∵A∩B=∴122a≥1a2+1≤4－3≤a≤3。例10设p为奇素数，试求x1+y1=p2的正整数解。解析：∵x1+y1=p2p(x+y)=2xy4xy－2p(x+y)+p2=p2(2x－p)(2y－p)=p2∵p是素数，x0,y0∴2212ppypx或ppyppx22或1222pyppx2)1(21ppypx或pypx或212)1(pyppx例11求方程组132yzxtytxz的整数解。解析：∵132yzxtytxz(xz－2yt)2+(xt+yz)2=11(x2+2y2)(z2+2t2)=11∴x2+2y2=1或z2+2t2=1①x2+2y2=1x=±1,y=0∵xt+yz=1t=±1∴z=±3②z2+2t2=1t=0,z=±1∴y=±1,x=±3∴所求方程组有4组解：(1,0,3,1)、(－1,0,―3,―1)、(3,1,1,0)、(―3,―1,―1,0)。例12求方程2x2y2+y2=26x2+1201的正整数解(x,y)。解析：∵2x2y2+y2=26x2+1201(2x2+1)(y2－13)=1188=22·33·11∴2x2+1与y2－13均为22·33·11的因数∵2x2+1为奇数2x2+1为33·11的因数由下表可知，所求的正整数为(4,7)和(7,5)。例13求x2+y2=328的正整数解。解析：显然x≠y，不妨设xy0∵328是偶数x、y的奇偶性相同x±y是偶数令x+y=2u1,x－y=2v1(u1、v1∈Z,u1v10)x=u1+v1,y=u1－v1∴u12+v12=164同理，令u1+v1=2u2,u1－v1=2v2(u2、v2∈Z,u2v20)u1=u2+v2,u1=u2－v2∴u22+v22=82同理，令u2+v2=2u3,u2－v2=2v3(u3、v3∈Z,u3v30)u2=u3+v3,u2=u3－v3∴u32+v32=41u3、v3必为一奇一偶，且0v3u3≤[41]=6依次取v3=1,2,3