第三讲复数域上的极限与连续

第三讲复数域上的极限与连续一．定义距离(两个复数之间的距离)两个复数11122,zzxiyzxiy的距离为2212121212(,)()()zzzzxxyy.有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论1212121212max{,}xxyyzzxxyy(如图2.1).二．复数序列的极限复数列1{}nnz,存在0z,使得0limnnzz对0,0N,当nN时,有0nzz.图2.1引理若000,1,2,,nnnzxiynzxiy,则000limlimlimnnnnnnxxzzyy.三．复函数的极限定义设:fD单值函数()wfz,000zxiy是D的一个聚点(非孤立点).若对于0,0,当00zz时,有()fzA,则称()fz当0zz时以A为极限,记为0lim()zzfzA.引理设000,zxiyzxiy,()(,)(,),wfzuxyivxyAaib,则有00000(,)(,)(,)(,)lim(,)lim()lim(,)xyxyzzxyxyuxyafzAvxyb.四．复函数的连续定义设()wfz定义在复数集D上,000zxiyD是D的一个聚点,若00lim()()zzfzfz,则称()fz在点0z连续.注:若点0z是D的一个孤立点,则()fz在点0z连续.引理复函数()wfzuiv在点000zxiy连续函数(,),(,)uxyvxy在点00(,)xy连续.复函数()wfz在点集D上的每一点连续,则()fz是D上的连续函数.五．复级数定义设复数列1{}kku,复数项级数的前n项之和1nnkksu(1,2,)n,然而得部分和序列{}ns,级数和1limknnkus,即1limknnkuAsA.引理复数列1{}kku,若kkkuaib,00Aaib,有01101kkkkkkaauAbb.绝对收敛:级数1kku收敛,则称1kku绝对收敛.级数1kku绝对收敛当且仅当级数1kka和级数1kkb收敛.六．复函数列1{()}kkuz设复函项级数1()kkuz,在点0zD,使复数列01()kkuz收敛,则称复函数列在点0z收敛,0z称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.复函项级数1()kkuz绝对收敛1()kkuz收敛.补充内容:实数域上有211!2!!nxxxxen321sin(1)3!(21)!nnxxxxn22cos1(1)2!(2)!nnxxxn下面把上面的情况推广到复数域上:(1)形式上的令2()()11!2!!nixixixixen(x)由21i得cossinixexix.下面是对Euler公式的严格定义和证明:设z,对1,2,n,令211!2!!nnzzzzn得到序列{}nz,不妨设mn,那么1212(1)!(2)!!(1)!(2)!!nnmnnmmnzzzzzzzznnmnnm(1)再对实数序列进行分析2{1}1!2!!nnzzzan,{}na收敛于ze,因为{}na收敛,由柯西准则有12(1)!(2)!!nnmzzznnm由(1)可知{}nz也是柯西序列,所以{}nz收敛.记{}nz的极限为ze,即z定义211!2!!nzzzzen1!nkzn级数1!nkzn收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域.(2)形式上的令321sin(1)3!(21)!nnzzzzn定义序列321(1)3!(21)!nnnzzzzn,利用上面同样的方法,可得321sin(1)3!(21)!nnzzzzn(3)同理,也有22cos1(1)2!(2)!nnzzzn由(1)(2)(3)得证cossinizeziz(Euler公式).练习:1.设3(1)zi(1)z表示为实部虚部的形式;(2)求,arg(,)zz;(3)求z的Euler指数表示;(4)z的三角表达式;解(1)32(1)(1)(1)2(1)12ziiiiii,Re2,Im2zz.(2)333(1)1(2)22zii;Im3argarctanarctan(1)Re4zzz.(3)3422ize.(4)332222(cossin)22()4422zii.2.求(1)1ie;(2)cosi;(3)sini;(4)1Re1ii.解(1)1(cos1sin1)iieeeei11Re()cos1,Im()sin1iieeee.(2)1cos22iiiieeeei.(3)11()sin222iiiieeeeeeiiii.(4)21(1)1,Re01(1)(1)1iiiiiiii.3.(1)13i;(2)lni;(3)Imln(1).解(1)21arg2221()()()333633kikiiikiieee当0k时,136031()cossin6622iieii;当1k时,153615531()cossin6622iieii;当2k时,1332233()cossin22iieii.(2)lnln(2)(2),22iiikikk.(3)ln(1)(2)(21),Imln(1)(21)ikikk.