第九章SECTION1抽象代数h线性空间h泛函分析

第九章抽象代数线性空间泛函分析本章内容包括抽象代数、线性空间与泛函分析三个部分，重点介绍线性空间.为了介绍线性空间的需要，这里简略地介绍了抽象代数的初步知识，即群、环、域等基本概念及其简单的性质.泛函分析是作为线性空间的理论在分析上应用的一个范例来介绍的，因而也不作系统的叙述.在这里除了叙述勒贝格积分的基本概念与重要性质外，还扼要地介绍了赋范线性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间和它们的一些简单的性质.在线性空间部分介绍了线性空间、线性变换、酉空间、二次型和埃尔米特型、方阵的若当标准型等的定义、性质以及一些算法.§1抽象代数一、基本代数系统[代数运算]假定对于集（见第二十一章，§1，一）A中任意元素a与集B中任意元素b，按某一法则可以与某一集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A，B的一个（二元）代数运算.集A，B也可以是同一个集，就是对A中任两个元素a，b，可以唯一确定元素c，使bac，c可属于A或不属于A，若属于A，则称A在运算下是封闭的.在二元运算下，若对A的任意两个元素a和b成立abba，则称A是可交换的.若对A的任意三个元素a，b，c在下，成立cbacba)()(，则称A是可结合的.若运算是通常的加法或乘法，就分别记作ba或ab.整数集中的加法和乘法都是可交换的与可结合的，因此整数集是可交换和可结合的.[代数系统]如果一个集A具有满足某些法则的代数运算，就称集A为代数系统.群、环、域就是三个基本的代数系统.二、群[群的定义与例子]设G不是空集（见第二十一章，§1，一），对G给定一个代数运算，若在之下，满足下列四个条件，则称G为一个群：（i）G在之下是封闭的，即对每一对元素Gba,，则有唯一确定的元素bac，且Gc.（ii）G在之下是可结合的，即对任意Gba,，有cbacba)()(（iii）在G中有一元素e，对任一Ga，满足aaeea（iv）对任一Ga，都有一个Ga1，满足eaaaa11条件（iii）中的e称为单位元或恒等元；条件（iv）中的1a称为a的逆元.注意，定义中条件（iii）可改为：有一个左单位元e（或右单位元e），使aea（或aea），对任意Ga成立.因为由此推出eeee.因此，群中单位元是唯一的.定义中条件（iv）可改为：每个元a有左（或右）逆元1a，使eaa1（或eaa1）成立.因为由此推出aeaaaaa11111)()(，从而eaaaa1111)(也成立.因此，群中每个元的逆元是唯一的.若一个群G的乘法可交换，则称G为交换群或阿贝耳群.特别在加法之下，交换群称为加法群.在加法群时，改为，逆元1a改为负元-a，单位元称为零元，记作0.例1整数集N组成一个加法群；有理数集、实数集、复数集各组成一个加法群.例2非零的实数集*R对于乘法组成一个群.正的实数集)(R对于乘法也组成一个群.例3一切元在数域F中的n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法组成一个群，记作)(FGLn.例4设Ω是一个平面图形，G是平面上一切使Ω不动的正交变换所组成的集，则G组成一个群.G通称为图形Ω的对称群.例5一切n次置换的集合组成一个群，称为置换群，记作nS.事实上，若任取两个n次置换：nnjjjniiin21221121,212可改写为：nnkkkiii21212对置换1和2，规定置换nkkkn21321和它们对应，即3为1和2的乘积，记作213在这个乘法之下，不难推出nS满足群中规定的条件，因而nS组成一个群.例6非空集S到自身的一切可逆变换（见第二十一章，§1，二）对于变换的乘法组成一个群，称为集S的全变换群，记作SG.SG的子群称为S上的变换群.[群的基本性质]1o在群中，对任意元a，b，方程byabax,各有解.即11,baybax.2o消去律成立.即若daca，则dc.3o群中一般结合律成立.即mniimjjnniiaaa1114o交换群中一般交换律成立.即niiinaaaaaa2121式中niii,,,21是n,,2,1的任一排列.[子群]设群G的非空子集H对于G的运算也组成一个群，则称H为G的一个子群.群G的非空子集H是子群的充分必要条件是：若Hba,，则Hab1.任意个子群的交集（见第二十一章，§1，三）是一个子群.[循环群]一个元a的一切乘幂,,,20aaea的全体组成一个群，称为循环群.循环群是交换群.若序列,,,2aae中没有两个元素相等的，则称G为无限循环群.若有相等的元素，即jiaaji,可推出G为n个元12,,,,naaae的集，即},,,{1naaeG这时称G为有限循环群，n称为G的阶，即n为使ean的最小正整数.循环群的子群还是循环群.[不变子群·陪集·商群]设H为群G的一个子群，若对每个元Gg,有HggH(这里gH表示g与H中一切元素的乘积，例如Hhgh,），即HgHg1，则称H为G的一个不变子群（或正规子群）.gH和Hg分别称为G对H含元素g的左陪集和右陪集.因此含同一元素的不变子群的左陪集和右陪集是重合的.把陪集看作元素时，一切陪集构成一个群，称为G对H的商群，记作G/H.拉格朗日定理有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因数.G的不变子群H的商群HG/的阶为G的阶被H的阶除所得的商.交换群的一切子群都是不变子群.若群G除自身外，无任何其他不变子群，则称G为单群.[同构与自同构]设两个群21,GG，若使1G中任意两元a，b的乘积与2G中相应元的乘积对应，而且只与这个乘积对应，即baab)(具有这个性质的1G到2G上的一对一的对应，称为一个同构，又称1G与2G是同构的，记作21GG.群G到自身的同构称为自同构.同构有以下性质：1o在同构之下，一个群的单位元、逆元、子群分别对应到另一个群的单位元、逆元、子群.2o同构是一个等价关系，即(i)反身性11GG；(ii)对称性若21GG，则12GG；(iii)传递性若21GG，32GG，则31GG.3o凯莱定理任一群G都同构于它的元素集的某一变换群.[同态与自同态]有两个群G,G,与一个映射f：GG.设GxGx,，若满足2121|)(xxxx则称f为一个同态.G为G的一个同态象，记作G~G.群G到自身的同态称自同态.同态有以下性质：1o一对一的同态就是同构.2o在同态之下，单位元映到单位元，逆元映到逆元.3o假定f是群G到G的一个同态，则G中对应于G的单位元e的一切元素所成的集N是G的一个不变子群.N称为同态f的核，记作)(1ef.4o假定群G，G同态，则G中对应于G的任一固定元素的一切元素所成的集是G对同态核N的一个陪集.5o同态基本定理假定G，G同态，群G对N的陪集与G的元素之间的一一对应是G与商群G/N之间的一个同构.它表明G的同态象G与对应的商群G/N同构.三、环[环的定义与例子]一个非空集R有加法和乘法两个二元运算，若满足下列三个条件，就称R为一个环：（i）R是一个加法群；（ii）对乘法满足结合律.即对任何Rcba,,，有cabbca)()(（iii）对加法和乘法满足左、右分配律.即对任何Rcba,,，有cabaacbacabcba)(,)(一个环若满足乘法的交换律baab，则称R为交换环.例1一切整数全体是一个环，称为整数环.例2设F是一个数域，则域F上的多项式的全体是一个环，记作F[x].例3如果数集R中任意两个数的和、差、积仍属于R，则R也是一个环，称为数环.单个数零也是一个数环，称为零环，显然，数环总是交换环.例4若R是一个环，一切用R的元所成的n阶方阵在矩阵的加法与乘法之下，构成一个环，称为R上的n阶全方阵环，记作nR.当1n时，nR为非交换环.[环的基本性质]因为环是一个加法群，所以它具有加法群的一切性质.因此只介绍由乘法所表示的各种性质.1o000aa2oabbaabbaba))((,)()(3o对减法分配律成立，即cabaacbacabcba)(,)(4o一般结合律成立，即mniimjjnniiaaa1115o一般分配律成立，即nimjjimjjniibaba11116o对任意整数m，有)()()(abmmbabma7o对正整数的指数定律成立，即mnmnnmnmaaaaa)(,对交换环还有nnnabba)([零因子与单位元]在环R中，若RbRa)0(,，使)0(0baab，则称a为R的左（右）零因子，记作)(RLaa.又称a为b的左（右）零化元.一个元同时是左、右零因子，就称它为零因子.若环中无零因子，就称它为无零因子环.n阶全方阵环就是无零因子环.若环R中有元素)(RLee，对任一Ra，有)(aaeaaeRL，则称)(RLee为R的左（右）单位元.若Re同时是左、右单位元，即aeaae，则称e为R的单位元.这时称R为有单位元环.例如整数环是单位元环，1就是它的单位元；n阶全方阵环nR有单位元，就是单位矩阵I.若R有单位元，则单位元是唯一的；若R有单位元e，并对Ra有逆元1a，则1a是唯一的.有单位元而无零因子的交换环称为整环.例如整数环、数域都是整环.[子环与扩张环]设S是环R的一个子集，若S对R的两个运算组成一个环，则称S为R的一个子环，称R为S的扩张环.环本身可以看作是它的子环，零环也是它的子环.异于本身与零环的子环称为真子环.环R的子集S成为R的子环的充分必要条件是：(i)S为非空集；(ii)若Sba,，则Sba；(iii)若Sba,，则Sab.[理想与主理想]设R是一个环，I是R的一个子集，若I中任意两个元素之差以及I中任意元素a与R中任意元素r的乘积ra和ar都属于I，则称I为R的一个理想.例如偶数全体是整数环的一个理想.每一个理想是已知环的子环，其逆不真.一个环的任意多个理想的交集仍是这个环的理想.特别，环中含有某一固定元素r的一切理想的交集仍是这个环的理想，即它是由一个元素r生成的理想，称为主理想，记作（r）.四、域[域的定义与例子]一个具有单位元的交换环R，若至少含有一个非零元，并且每个非零元a恒有逆1a，则称R为一个域.例1数域F（有理数域Q、实数域R、复数域C等）都是域.例2数域F上的一切有理分式)(/)(xgxf（][)(),(xFxgxf且0)(xg）在有理分式的加法和乘法之下组成一个域，称为数域F上的有理分式域.[域的基本性质]1o域没有零因子.2o若集F在两个二元运算（加法和乘法）下满足下列条件，则F为一个域：(i)F是以零为单位元的加法群；(ii)由除零外的F的一切元组成的集在乘法下是一个交换群；(iii)乘法对加法是可分配的，即acabcba)(.3o在域F中，方程bax（Fba,，且0a）有唯一的解，并可记作abx/.4o在域F中，成立指数定律：nnnmnnmnmnmabbaaaaaa)(,)(,式中m，n为任意整数，a，b为F中任意两个元素，只对非零元素才能有负整数的幂.5o若把域F的单元e的n倍ne简记作n，则F中任一元a的n倍na就是n与a的积na.