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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 市场营销 > 第九章SECTION4酉空间
§4酉空间一、酉空间的定义与性质[酉空间与欧氏空间]设V为一个复数域F上的线性空间,若在V中定义了两个矢量,的内积(数量积),记作(,),且满足:(i)(,)=(_____,),其中(_____,)是(,)的共轭复数;(ii)(,)0,等号当且仅当0时成立;(iii)),(),(),(22112211aaaa,对任意,,,21VFaa21,成立;则称V为一酉(U)空间,又称为内积空间.若F是实数域,这时内积是可交换的.有限维实酉空间称为欧氏空间.例n维线性空间nV中,若规定)(),(2211nnbababa式中nnbbbaaa2121β,α则nV是一个酉空间.酉空间V中的内积具有性质:1o(ba,)=),(ba2o),(),(),(3o一般,VFbaiiii,,,),,2,1(ni则niiiiiniiiniiibaba111),(),(4o000),(),([模(范数)]由于_____),(),(,所以),(是实的.令),(称它为酉空间V中矢量的模或范数.模为1的矢量称为单位矢量或标准矢量.设α,β为酉空间的矢量,c为一复数,则1occ2o),((柯西-施瓦兹不等式)等号当且仅当α和β线性相关时成立.3o这些性质与空间的维数无关.[正交与标准正交基]酉空间V中,若0),(,则称矢量α正交于β.显然,若α正交于β,则β也正交于α.酉空间中,任意一组两两正交非零矢量是线性无关的.如果一组单位矢量两两正交,则称它为一个标准正交组.若这矢量组又生成整个空间V,则称它为V的标准正交基.设{n,,,21}为酉空间V的一组标准正交矢量,V,则1o222221),(),(),(n(贝塞耳不等式)2onn),(),(),(2211正交于),,2,1(nii3o当V是有限维空间时,{n,,,21}成为V的基底的充分必要条件是:任一个矢量V可表示为nn),(),(),(2211且222212),(),(),(n[子空间的正交补空间]设V为复数域上的酉空间,S为V的一个子空间,若(i)VTS(ii)对S和T有0),(则称T为S的正交补空间.由(i)立刻可知TS(空集).若S是一个有限维酉空间nV的一个子空间,则nV中有一个子空间T为S的正交补空间.二、酉空间上的特殊线性变换[共轭变换]对域F上酉空间V上的一个线性变换L,由关系式V,)),(,()),((*LL所定义的变换*L是线性变换,*L称为L的共轭变换.若LLLL**,则称L为正规变换.共轭变换有以下性质:1oLL**)(2oFaaa,)(**LL3o***)(MLML4o***)(LMLM5o若L是非奇异线性变换,则*L也是非奇异线性变换,并且*11*)()(LL6o若在某一标准正交基下L的矩阵为A,则共轭变换*L关于这同一基底的矩阵为A的共轭转置矩阵__A.[自共轭变换(埃尔米特变换)]若*LL,则称L为自共轭变换或埃尔米特变换.自共轭变换有以下性质:1o若L,M为自共轭变换,Fa则LMLa,也是自共轭变换.当L,M可交换时,LM也是自共轭变换.2o在标准正交基下,自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵.反之,线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵,则必为自共轭变换.3o自共轭变换的特征值是实的.4o有适当的标准正交基使自共轭变换L对应于一个实对角线矩阵,其主对角线上的元素是L的全部特征值.[酉变换]若对酉空间V中的任意,,有线性变换L,使),())()),((LL则称L为酉变换.酉变换有以下性质:1o恒等变换为酉变换.2o若L,M为酉变换,则LM也为酉变换.3o若L为酉变换,则1L也为酉变换.4oL为酉变换的充分必要条件是:ILL*或1*LL5o在标准正交基下,酉变换L的矩阵是酉矩阵.反之,线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵,则必为酉变换.6o酉变换的特征值的绝对值都是1.三、射影[射影及其性质]对线性空间V上的一个线性变换P,若有V的两个互补子空间S和T使得若TSV,,,,则)(P这种变换P称为V沿T在S上的射影.射影有以下性质:1o若P是一个射影,则PP2因此射影是一个幂等变换;反之,幂等变换必为射影.2o若21,PP是线性空间V分别沿1T在1S上和沿2T在2S上的射影,则(i)21PP是一个射影,当且仅当若OPPPP1221时,则21SS,并且21PP是沿21TTT在21SSS上的射影.(ii)若PPPPP1221,则P是沿21TTT在21SSS上的射影.3o设T,S为有限维线性空间nV的两个互补子空间,P为沿子空间T在子空间S上的射影,则P的矩阵可化为如下形式:000AP式中A是k阶方阵.[正射影]设S,T为复数域上一酉空间V的互补子空间,则V沿T在S上的射影称为V在S上的正射影.[自共轭变换的分解]设L是有限维酉空间V上一个自共轭变换.令k,,,21为L的不同特征值,令iS为使i)(L),,2,1(ki的矢量α的集合,则iS是V的子空间.显然对ji,iS和jS是V的正交补空间.若{iini,,1}是Si的一个标准正交基,其中in是iS的维数,则由一切这些ij所组成的集{ij}是V的一个标准正交基.最后使Pi为V在Si上的射影,则关于上面的基底,L的矩阵有如下的形式:kk002211=knknnIII002121式中inI表示in阶单位矩阵.另一方面,关于这个基底射影Pi的矩阵为kinnnI001式中inO表示jn阶的零矩阵.因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.kkPPPL2211四、酉空间中的度量在本节第一段中,已经引入酉空间中的每个矢量α的模(范数).酉空间中两“点”(即矢量)α,β的距离),(d与任二矢量α,β之间的角度的定义如下:),(cos))((),(d由上述方程所定义的函数满足尺度空间(见第二十一章,§4,一)中的一切条件.若V是一个实酉空间,则对一切V,,角度必须是实的.
本文标题:第九章SECTION4酉空间
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