第九章多因素试验资料的统计分析

第九章多因素试验资料的统计分析•本章重点介绍二因素完全随机、随机区组和裂区试验的统计分析方法，同时简要介绍多年多点试验结果的统计分析方法。•第一节二因素完全随机试验资料的统计分析•一、无重复二因素交叉分组完全随机试验的统计分析•1、无重复二因素交叉分组完全随机试验的线性模型与期望均方•二因素试验中，因素A的每个水平与因素B的每个水平均衡相遇，构成交叉分组（cross-overclassification），也称两向分组（twowayclassification），且每组只有单个观察值，这种资料就是无重复的二因素完全随机试验资料。•表9.1无重复二因素交叉分组完全随机试验资料的数据结构(i=1,2,…,a;j=1,2,…b)•表9.1中观察值资料的线性模型为：xij=+i+j+ij•上式中，μ为总体平均数；i和j分别为Ai和Bj的效应，可以是固定模型(=0，j=0)，也可以是随机模型[i~N(0，A2),j~N(0,B2)]；ij为随机误差，相互独立，且都服从正态分布N(0，2）。表9.2无重复二因素交叉分组完全随机试验资料的自由度、平方和与期望均方2、无重复二因素交叉分组完全随机试验资料的方差分析示例〔例9.1〕考察植物生长调节剂烯效唑（S-3307）对玉米自交系幼胚培养中胚芽生长的抑制作用，烯效唑有6个浓度等级，自交系有3个基因型，授粉13天左右的幼胚，接种培养一周测量胚芽长度，结果见表9.3，试作方差分析。•解：本例是一个两因素完全随机单个观察值的试验资料。A因素（自交系）有3个水平，B因素（烯效唑浓度）有6个水平，共有18个观察值。•①各项变异平方和与自由度计算：•②列方差分析表并进行F测验•按固定模型F测验，结果表明，各自交系幼胚，在培养一周后，胚芽长度存在极显著差异。就烯效唑对胚芽生长的影响而言，不同浓度间也存在极显著差异。说明不同自交系和不同烯效唑浓度对幼胚培养的胚芽生长均有极显著影响，需进一步对两因素各水平的平均胚芽长度进行多重比较。③多重比较•不同自交系(A因素)胚芽生长长度比较(SSR法)根据dfe=10，从附表8中查出秩次距为2，3的SSR临界值，与标准误相乘，得出最小显著极差值如下表明3个自交系的幼胚经培养一周后，R09的胚芽长度与R18红、R18白存在极显著差异；R18红与R18白的胚芽长度在0.05水平上存在显著差异。•不同烯效唑浓度处理（B因素）的胚芽长度比较（SSR法）根据dfe=10，从附表8中查出秩次距为2，3，…，6的SSR临界值，与标准误相乘，算出最小显著极差值，见表9.6。•比较结果见表9.7。•多重比较表明，浓度为0.50mg/L与1.00mg/L的烯效唑处理对胚芽生长的抑制作用差异不显著，2mg/L与5mg/L之间差异也不显著。所以，为了抑制幼胚培养过程胚芽的生长，应选0.50mg/L的烯效唑为佳。•上述试验设计中每个处理（即水平组合）只有单个观察值，因素间的互作与试验误差混为一起，我们没有办法将其分开，所以也就无法对互作效应做出测验。因此这种试验设计是有缺陷的，它夸大了试验误差，尤其是当因素间的互作明显存在时。二、有重复二因素交叉分组完全随机试验的统计分析•因此，多因素完全随机单个观察值试验设计，只能用于因素间无互作的情况，若有互作存在，则宜设置重复。表9.8二因素完全随机有重复观察值试验资料的数据结构表9.9二因素交叉分组完全随机有重复观察值试验资料的自由度、平方和分解与期望均方2、二因素交叉分组完全随机有重复观察值试验资料方差分析示例•〔例9.2〕三种肥料（A因素）与三个小麦品种（B因素）的完全随机试验，每处理种3盆，得每盆产量结果于表9.10。试作方差分析。•解：①各项变异平方和与自由度计算：•②列方差分析表并进行F测验•F测验结果（表9.11）表明，A因素各水平、B因素各水平及A、B互作均存在显著差异，需进一步进行多重比较，以明确最优品种和最优肥料类型以及最优组合。•③多重比较•不同肥料（A因素）间的比较（SSR法）•故A因素各水平比较的标准误为根据df=18，从附表8中查出秩次距为2，3的SSR临界值，与标准误相乘，得出最小显著极差值如下•表明3种肥料的小麦产量，以A1最高，达18.44g/盆，极显著优于A2、A3。而A2、A3间产量差异不显著。•不同小麦品种(B因素)间的产量差异比较(SSR法)•B因素各水平比较的标准误为：•由于标准误相同，所以相同秩次距下的最小显著极差值也相同•三个品种中，B1的产量显著高于B2、B3，B2、B3间无显著差异，但三个品种的产量差异未达极显著水平。•各水平组合平均数间的差异比较(SSR法）•F测验表明，品种与肥料的互作显著，说明各水平组合的效应不是各因素简单效应的相加，而包括因素间的互作。当然，如果互作不显著，则最优水平组合应是前面对各因素主效应检验中分别选出的最优水平，不需要对互作效应进行多重比较。•本例水平组合的重复数为n，故标准误为：•dfe=18时不同秩次距在水平的SSR临界值，与标准误相乘，算出最小显著极差LSR值(见表9.14)。•结果表明A1B1组合极显著优于其他组合，A1B2组合次之，剩余组合间差异不显著。第二节二因素随机区组试验的统计分析一、二因素随机区组试验的线性模型与期望均方设试验有A、B两因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，随机区组设计，n次重复，该试验共有abn个观察值。其数据模型见表9.16。续表9.16(A因素与B因素两向表)•在二因素试验资料中，处理效应ij由三部分组成，即ij=i+j+()ij•故二因素随机区组试验资料观测值的线性模型可表示为：xijk=+i+j+()ij+k+ijk(i=1，2，…，a；j=1，2，…，b；k=1，2，…，n)•其中，•为全部试验观察值总体平均数，•i为因素A第i水平的效应，•j为因素B第j水平的效应，•()ij为因素A第i水平与因素B第j水平的交互作用，•k为第k区组效应，•ijk为随机误差、相互独立、且都服从N(0，2)。•根据数学模型的构成分量SST=SSA+SSB+SSA×B+SSr+SSedfT=dfA+dfB+dfA×B+dfr+dfe单因素、二因素随机区组试验分解项数比较二、二因素随机区组试验资料统计分析示例•〔例9.3〕玉米品种（A）与施肥（B）二因素随机区组试验，A因素有A1，A2，A3三个水平(a=3)，B因素有B1，B2，B3三个水平(b=3)，重复4次(n=4)，小区计产面积20m2，田间排列和小区产量(kg/20m2)如图9.1所示，试作统计分析。图9.1玉米品种与施肥随机区组试验田间排列和小区产量•解：①数据整理表9.18处理与区组两向表表9.19品种与施肥两向表•②计算各项变异平方和与自由度处理间变异再分解如下：•③列出方差分析表，进行F检验•这里A、B两因素都为固定模型，区组为随机模型，根据表9.17中所列的相应模型下各变异来源EMS的组成情况，A因素、B因素及A、B互作F值的计算都应以误差项均方（s2e）作分母。表9.20方差分析表(区组随机，A、B固定)•F测验结果表明，品种间、施肥水平间以及品种与施肥交互作用间的差异均极显著，应进一步进行多重比较。划分区组只是为了减少误差而对试验地采用的一种局部控制手段,因此不必进行多重比较。这里区组间差异达到显著，说明试验地土壤差异较大，划分区组能显著降低试验误差。④多重比较•品种间比较(SSR法)：以小区平均产量为单位•品种间比较的标准误查dfe=24，秩次距p=2、3时的SSR值，求得各个LSR值。施肥水平间比较(SSR法)：•施肥水平间比较的标准误：•与品种间比较的标准误相同，故LSR也一样。表9.22三种施肥量间小区产量的差异显著性（SSR法）结果明三种施肥量中以B1的平均产量最高，显著优于B2、B3，并与B3差异达极显著水平。•水平组合间的比较(SSR法)：•A×B的Ｆ测验达极显著水平，说明不同品种要求的施肥量是不相同的。因此需要比较两因素水平组合之间的差异显著性。简便而常用的方法是对A因素各水平下B间（或B因素各水平下Ａ间）作多重比较。•计算水平组合间的标准误：•查得dfe=24时，不同秩次距下的SSR值，求得各个LSR值。•⑤试验结论•本试验参试的三个玉米品种存在极显著的产量差异，以品种A2平均产量最高，与A1、A3均有极显著差异。三种施肥量间也存在极显著差异，以B1产量表现最优，与B2、B3有显著差异，并与B3的差异达极显著水平。品种与施肥量存在显著互作效应，A1、A3品种应取B1施肥量为优，A2品种以B2、B3施肥量最优，与B1组合产量极显著降低。•上述比较实际上是不同品种内施肥量的简单效应比较，简单效应的差异表明因素间存在显著的互作效应。另一种方法是比较全部9个处理（即9个水平组合）的差异显著性，这时标准误仍为0.857(kg)，但应将表9.23中A1、A2、A3按产量高低排列成一张表，然后计算秩次距p=2～９的最小显著极差值LSR，再以此为标准比较全部处理的差异显著性。第三节二因素裂区试验的统计分析•裂区设计是应用于二因素试验的设计方法。这种方法把两个因素分两次分别进行设计。先按单因素随机区组设计的方法设计第一个因素（主处理），由此形成的小区称为主区；然后将每个主区都划分为与第二个因素（副处理）的水平数相等的小区，在这些小区中随机地排列第二个因素的各个水平。3个主处理4个副处理3次重复的裂区设计示意图一、二因素裂区试验的数学模型与期望均方•Ai、Bj水平组合在第k个区组的观测值可表示为：xijk=+k+i+()ik+j+()ij+()jk(i=1，2，…，a；j=1，2，…，b；k=1，2，…，n)•(此即两因素裂区设计试验资料的数学模型)•其中，为全部试验观察值总体平均数，•i为主区因素A第i水平的效应，•j为副区因素B第j水平的效应，•()ij为A因素第i水平与B因素第j水平的交互作用效应，k为第k区组的效应，•()ik和()jk分别为主区误差和副区误差，两者各自相互独立、()ik~N(0，2Ea)，()ik~N(0，2Eb)•两因素裂区设计试验资料的总平方和与自由度可分解为•各项变异的平方和：表9.24两因素裂区试验资料的期望均方二、二因素裂区试验资料统计分析示例•〔例9.4〕有一水稻施N量(A)与品种（B）试验，主处理为A，有A1、A2、A3三个水平（a=3），副处理为B，有B1、B2、B3、B4四个水平(b=4)，裂区设计，重复3次(n=3)，副区计产面积13.34m2，试验处理与代号、田间排列和小区产量(kg)见图9.2，试作统计分析。图9.2水稻施N量与品种裂区试验田间排列和小区产量•解：①数据整理•②计算各项变异平方和与自由度•总自由度dfT＝abn－1＝3×3×4-1＝35•主区部分：•主区总平方和•主区总自由度dfm＝an－1＝3×3－1＝8•主区因素A平方和•主区因素A自由度dfA＝a－1＝3－1＝2•区组平方和•区组自由度dfr＝n－1＝3－1＝2•主区误差平方和SSEa＝SSm－SSA－SSr＝512－20.67－478.17＝13.16•主区误差自由度dfEa＝dfm－dfA－dfr＝8－2－2＝4或者dfEa＝(a－1)(n－1)＝(3－1)×(3－1)＝4•副区部分：•处理平方和•处理自由度dft＝ab－1＝3×4－1＝11•副区因素B平方和•副区因素B自由度dfB＝b－1＝4－1＝3•A、B互作平方和SSA×B＝SSt－SSA－SSB＝669-478.17-77＝113.83•A、B互作自由度dfA×B＝dft－dfA－dfB＝11－2－3＝6或者dfA×B＝(a－1)(b－1)＝(3－1)×(4－1)＝6•副区误差平方和SSEb＝SST－SSm－SSB－SSA×B＝739-512-77-113.83＝36.17或者SSEb＝SST－SSr－SSt－SSEa＝739-20.67-669-13.16＝