第九章第二节(U检验法)

1第九章第二节正态总体均值和方差的假设检验设总体2,~NX,nxxx,,,21为X的样本.U检验法一：单个正态总体均值的假设检验1．已知方差2,检验假设：00:H.分析：由于x比较集中地反映了总体均值的信息，所以检验函数可以从x着手考虑。211~(,)niixxNnn。由于)1,0(~NnxU，因此很自然地选用统计量：nxU00作为检验函数，2在0H为真的条件下，)1,0(~00NnxU且00UE,因此，nxU00应当在0的周围随机摆动，远离0的可能性较小，所以拒绝域可选在双边区域。基于以上分析，可得检验方法步骤如下：(1)先提出假设00:H;(2)选取检验用的统计量)1,0(~0NnxU；(3)确定检验水平(或显著性水平)和拒绝域,给定检验水平，查1,0N表得21z，这里21z为由1,0N表得到的21分位点,21}{)(2121zUPz,3于是有12{||}1PUz，12{}PUz121{||}1(1)PUz,即得012{||}xPzn，这就是说事件}|{|210znx是一个小概率事件,从而拒绝域D,,2121zz;(4)根据样本的试验值nxxx,,,21，算得U的值nxu00,比较判断下结论,若210zu，（小概率事件在一次试验中发生），则拒绝原假设0H，若210zu，则接受假设0H.4例1：根据大量调查得知，我国健康成年男子的脉搏平均为72次/分，标准差为6.4次/分，现从某体院男生中，随机抽出25人，测得平均脉搏为68.6次/分。根据经验脉搏X服从正态分布.如果标准差不变，试问该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏有无差异？并求出体院男生脉搏的置信区间05.0.解：此例是在已知4.6的情况下，（1）检验假设0H72:,统计量)1,0(~0NnxU,（2）现在25n,6.68x,656.2|54.6726.68|00nxu,（3）对于05.0，查标准正态分布表得96.1975.021zz,（4）因为21096.1656.2zu，故拒绝0H，5说明该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏存在差异。由于1.6696.1254.66.6821znx,1.7196.1254.66.6821znx,所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为(66.1,71.1)。有的时候,我们还要检验总体的均值是等于0还是小于0或是大于0,即要在假设00:H或1H：0中作出选择;或者要在假设00:H;1H：0中作出选择.这里的1H称为备选假设,而把0H称为原假设.62.已知方差2,检验假设：00:H;1H：0,(事先算出样本观察值0x,才提这样检验问题),选取统计量nxU0，在0H为真的条件下,)1,0(~0NnxU,对给定的，选取1z，1)(1z,zz1,故}{10znxPzzUP1,这表明在0H为真的条件下，}{10znx是一小概率事件，由此可以得出如下判定方法：7计算nxU0的试验值nxu00；若10zu，则拒绝原假设0H,接受1H；否则接受原假设0H。例2已知某零件的质量),(~2NX,由经验知05.0),(102g.技术改新后,抽取8个样品,测得质量(单位:g)为9.8,9.5,10.1,9.6,10.2,10.1,9.8,10.0,若方差不变,问平均质量是否比10为小？(取05.0)解本例是一个左边检验问题,检验假设：10:0H;1H：10,选取统计量nxU/0，在0H为真的条件下,)1,0(~/10NnxU,查标准正态分布表得645.195.01zz,由样本值计算出9.9x8计算nxU/10的试验值并比较,10645.126.11005.0109.9/10znxu,故接受假设10:0H.3.已知方差2,检验假设：00:H;1H：0;(事先算出样本观察值0x,才提这样检验问题),选取统计量nxU/0，在0H为真的条件下,)1,0(~/0NnxU,对给定的，选取1z，1)(1z,111}{zzUP,故}/{10znxP111}{zzUP,这表明在0H为真的条件，9}/{10znx是一小概率事件，由此可以得出如下判定方法：计算nxU/0的试验值nxu/0；若10zu，则拒绝原假设0H,接受1H；否则接受原假设0H。例3某厂生产的一种铜丝，它的主要质量指标是折断力大小。根据以往资料分析，可以认为折断力X服从正态分布，且数学期望EX＝＝570（N），标准差是＝8（N）。今换了原材料新生产一批铜丝，并从中抽出10个样品，测得折断力（单位：N）为：578572568570572570570572596584从性能上看，估计折断力的方差不会发生变化，问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝的折断力较大？（取05.0）解：（1）假设H0：570；H1：57010(2)计算统计量nx/570的值，算出x＝575.2nx/570＝055.210/85702.575（3）当05.0时，查标准正态分布表得临界值1z＝95.0z＝1.645。（4）比较nx/570与1z的值的大小。现在nx/570＝2.0551.645=1z故拒绝假设0H即接受1H.也就是说新生产的铜丝的折断力比以往生产的铜丝的折断力要大.以上三种检验法由于都是使用U的分布，故又名U检验法.