第九章统计决策

第九章统计决策第一节统计决策的基本概念...............................................................................................1一、什么是统计决策.......................................................................................................1二、统计决策的基本步骤...............................................................................................2三、收益矩阵表...............................................................................................................3第二节完全不确定型决策...................................................................................................6一、完全不确定型决策的准则.......................................................................................6二、各种准则的特点和适用场合...................................................................................8第三节一般风险型决策.....................................................................................................11一、自然状态概率分布的估计.....................................................................................11二、风险型决策的准则.................................................................................................11三、利用决策树进行风险型决策.................................................................................13第四节贝叶斯决策...............................................................................................................17一、什么是贝叶斯决策.................................................................................................17二、贝叶斯公式与后验概率的估计.............................................................................17三、先验分析与后验分析.............................................................................................18四、完全信息价值与补充信息价值.............................................................................19五、后验预分析.............................................................................................................22本章小结.................................................................................................................................24本章对统计决策的基本理论、方法及其应用，作扼要的介绍。通过学习，要求：1.理解有关统计决策的基本概念与基本步骤，能够运用收益矩阵表与决策树形图表述所要研究的决策问题；2.了解各种决策准则的特点与适用的场合，能够运用这些准则，进行完全不确定性决策与一般风险型决策；3.了解贝叶斯决策的基本思想，掌握后验概率、完全信息价值与补充信息价值的计算方法，并在此基础上进行决策分析。第一节统计决策的基本概念一、什么是统计决策所谓决策，就是在占有一定信息的基础上，利用各种方法，对影响特定目标的各种因素进行计算和分析，从而选择关于未来行动的“最佳方案”或“满意方案”的过程。不少决策问题，需要利用有关的统计信息和相应的统计分析方法。从广义上讲，所有利用统计方法和统计信息的决策都可以称为统计决策。但由于篇幅的限制，本章并不准备全面讨论这种广义的统计决策，而只是扼要介绍狭义的统计决策。狭义统计决策的基本特点是：（一）它研究的是非对抗型的决策问题。决策问题可分为两大类：对抗型决策问题和非对抗型决策问题。对抗型决策是由多个不同的决策主体在相互竞争和对抗中进行决策。进行对抗型决策时，必须考虑对方可能采取的策略。我国历史上著名的“田忌赛马”就是一个典型的对抗型决策的案例。对抗型决策问题属于运筹学中的博弈论（对策论）所研讨的内容。非对抗型决策只有一个决策主体，进行决策时，只要考虑可能出现的不同状态，而不必考虑对方可能采取的策略。狭义的统计决策是研究非对抗型决策问题的一种方法。（二）它研究的是非确定型的决策问题。按照对客观条件的不同把握程度，决策可分为确定型决策和不确定型决策。在有关条件可以完全确定的情况下进行决策，称为确定型决策。求解复杂的确定型决策问题，通常运用运筹学中的数学规划方法。在有关条件不能确定的情况下进行决策，称为不确定型决策。求解不确定型的决策问题，需要应用大量概率统计的方法。这是本章讨论的重点。按照对各种客观条件发生概率的了解程度不同，不确定型决策可分为完全不确定型决策和风险型决策。在对各种条件发生的概率一无所知的情况下进行决策，称为完全不确定型决策。在对各种条件发生的概率（可能性大小）有所了解的情况下进行决策，称为风险型决策。（三）它是一种定量决策。统计决策是以统计分析和统计预测为基础的定量决策。利用统计决策可以把握决策问题的具体数量，便于比较、鉴别和选择。综上所述，狭义的统计决策方法是一种研究非对抗型和非确定型决策问题的科学的定量分析方法。开展统计决策研究，有助于避免决策的盲目性，提高决策的科学性。二、统计决策的基本步骤一个完整的统计决策过程，包括以下几个基本步骤：（一）确定决策目标所谓决策目标是在一定条件制约下，决策者希望达到的结果。它是分析和研究决策问题的出发点和归宿。决策目标应根据所研究问题的具体特点确定。合理的统计决策目标应当尽可能简单明确，并且要以具有可测量性的指标来体现其内容与涵义。反映决策目标的变量，称为目标变量。按照决策目标的多少，决策问题可分为单目标决策和多目标决策。当决策所要求达到的目标只有一个时，称为单目标决策。例如，在个人的证券投资决策中，一般以投资收益的最大化作为唯一的目标，这就是典型的单目标决策问题。当决策所要求达到的目标不止一个时，称为多目标决策。例如，对某产业项目进行投资决策，不仅要求其能够获得尽可能大的净收益，而且希望将环境污染控制在尽可能小的程度上，这就属于多目标决策问题。求解多目标决策问题比较复杂，一般需要先利用一定的方法，将多个决策目标加权综合成一个总目标或构造一个新的综合目标函数，然后再利用单目标决策的方法求解。限于篇幅，本章只着重讨论单目标决策的问题。（二）拟定备选方案目标确定之后，需要分析实现目标的各种可能途径。这就是所谓拟定备选方案。一般来说，备选方案应在两个以上。如果某一问题只有一种可能的解决方案，就不存在所谓的决策问题。备选方案是决策者可以调控的因素，备选方案中所调控的变量称为行动变量。所有备选方案的集合称为行动空间。为了拟定合适的备选方案，必须广泛收集有关的信息，认真听取各方面人员的意见，充分发挥主动性和创造性。（三）列出自然状态所谓自然状态简称状态，是指实施行动方案时，可能面临的客观条件和外部环境。某种状态是否出现，事先一般是无法确定的。对于同一个决策问题，各种状态不会同时出现，也就是说，它们之间是互相排斥的。例如，投资建设某种产品的生产线，该产品未来的市场销售情况可分为好、中、差三种。在这里，好、中、差就是关于市场销售的3种状态，三者都有出现的可能，但又不可能同时出现。虽然，各种状态是决策过程中客观存在的，其是否出现并不以决策者的主观意志为转移，但是，为了提高决策的科学性，人们总是尽可能地设法估计各种状态有可能出现的概率。所有可能出现的状态的集合称为状态空间，而相应的各种状态可能出现的概率的集合称为状态空间的概率分布。（四）测算结果为了从各种备选方案中挑选出合适的方案，需要测算不同方案在各种状态下可能实现的目标变量值，即不同方案在各种状态下的结果，所有的结果构成结果空间。（五）选择“最佳”或“满意”的方案在对各种方案可能产生的结果进行比较分析的基础上，决策者可按照一定的标准（准则），选择“最佳”或“满意”的方案。（六）实施方案方案确定之后，必须组织人力、物力和财力将其付诸实施。由于，以上的决策是根据对未来的预计作出的，因此，所选择的方案是否真正合适，还需要通过实践的检验。同时，应将实施过程中的信息及时反馈给决策者。如果实施结果出乎意料，或者自然状态发生重大变化，应暂停实施，并及时修正方案，重新决策。三、收益矩阵表收益矩阵表是求解统计决策问题的重要工具。其基本形式如表9-1所示。收益矩阵表由以下几部分组成：（一）行动空间A=(a1,a2,…，am)（二）状态空间Θ=(θ1,θ2,…,θn)（三）状态空间的概率分布（Pj是θj出现的概率）P=(P1,P2,…,Pn)Pj≥0njjp1=11[1]（四）收益矩阵收益矩阵mnmmnnqqqqqqqqq212222111211Q收益矩阵的元素qij反映在状态θj下，采用行动方案ai得到的收益值（结果）。这里所说的收益是广义的，凡是能作为决策目标的指标都可以称为收益。如利润、产量、销售收入等属于正的收益指标，成本、亏损额等属于负的收益指标。收益是行动方案和自然状态的函数，可用下式表示：qij＝Q(ai,θj)i=1,2,…,m;j=1,2,…n(9.1)表9-1收益矩阵表状态θ1θ2…θn概率P1P2…Pn方案a1a2…amq11q12…q1nq21q22…q2n…………qm1qm2…qmn收益矩阵表的作用在于可以将各种备选方案在不同状态下的结果以及产生有关结果的可能性一目了然地列示出来，从而便于决策者从中选择最满意的方案。【例9-1】一家酿酒厂就是否推出一种新型啤酒的问题进行决策分析。拟采取的方案有三种：一是进行较大规模的投资，年生产能力为2500万瓶，其每年的固定成本费用为300万元；二是进行较小规模的投资，年生产能力1000万瓶，其每年的固定成本费用为100万元；三不推出该种啤酒。假定在未考虑固定费用的前提下，每售出一瓶酒，均可获纯利0.31[1]有的场合，决策问题的状态表现为连续型变量，这时其概率分布为连续型的概率分布。限于篇幅，本