第九讲不等式问题(两课时)

第九讲不等式问题（两课时）一、前测训练1、解下列不等式（1）12223440223432801xxxxxx（4）210axax2、（1）若对任意xR，都有222240mxmx恒成立，则实数m的取值范围。（2）若对任意0x，都有2210mxx恒成立，则实数m的取值围。（3）若对任意11m，都有221mxxm恒成立，则实数x的取值范围。3、（1）函数1514544yxxx的最大值。（2）已知190,0,2xyxy，则xy的最小值。4、求下列函数的值域225121,24xayfxxxxx5、求下列函数的值域2222111212122xxxyxfxxxxx6、设,xy满足约束条件4335251xyxyx，则12zxy的最小值为。22zxy的最大值为。2232zxxy的最大值为。44yzx的最大值为。答案：251:1,2;2,41,3,32（4）当04a时，解集为；当4a时，解集224422aaaaaaxxaa当0a时，解集为224422aaaaaaxxxaa或2、12,22,0331,23:16284、512（2）当1a时，值域为1,22aa，当12a时，值域为2,22aa当24a时，值域为2,1aa，当4a时，值域为2,12aa5、5111,2,0226、221328339425二、方法联想1、一元二次不等式从四个方面考虑：（1）二次项系数为0和正负情况；（2）二次方程根是否存在情况（优先用十字相乘法求根）；（3）二次方程根的大小情况；（4）二次不等式的不等号方向分式不等式，100fxfxgxgx00fxfxgxgx0200fxgxfxgxgx000fxgxfxgxgx2、恒成立问题（1）二次不等式恒成立问题方法一：结合二次函数图象分析，方法2：分离变量法。（2）一次不等式恒成立问题①若关于x的不等式fx0axb对任意,xmn上恒成立，则00fnfm②若关于x的不等式fx0axb对任意,xmn上恒成立，则00fnfm3、基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号三个不等式关系221,,2abRabab，当且仅当ab时取等号2,,2abRabab，当且仅当ab时取等号2223,,22abababR,当且仅当ab时取等号上述三个不等关系揭示了22,,ababab三者之间的不等关系其中当和为定值，求积最值，当积为定值，可求和最值。4、afxxx型函数当0a时，fx在,0,0,为增函数当0a时，fx在,,,aa为增，在,0,0,aa为减注意：在解答题中利用函数afxxx的单调性时，需要利用导数进行证明。5、2axbxcfxdxe或（2dxefxaxbxc）型令dxet进行换元，转化为afxxx型函数问题6、利用线性规划区域求最值将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值。三、例题分析第一、第二层次公用例题例1设函数23fxxax（1）当xR时，fxa恒成立，求a的取值范围（2）当2,2x时，fxa恒成立，求a的取值范围（3)不等式fxa对13a的一切a恒成立，求x的取值范围解：16227233aax或x0思路1利用二次函数图象注：此方法可改进，由2,2fafa得773a，对称轴77,262ax，，可少讨论一种情况。思路2求函数的最值注：此方法可改进由2,2fafa得773a，再进行分类讨论，思路3变量分离后，再求函数最值【教学建议】1、本题涉及到不等式恒成立问题，通常有3种思路①0,fxxD恒成立min0fx转化为求函数fx最小值，（可能要对参数讨论）②选进行变量分离，再求函数最值：即,fxaxD恒成立minfxa③利用函数图象和儿几何意义2、本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式法处理，第二问是二次不等式对恒成立，所以图象法，求最值，或变量分离后求最值均可，以方法2较优例2设,mnR，若直线1120mxny与圆22111xy相切，求mn的取值范围解：,222222,mn思路1：基本不等式思路2：消元转化为求函数的值域思路3：利用图象的几何意义【教学建议】1、本题是求二元函数的值域问题，这类问题主要有三种解题思路①直接利用基本不等式，这种方法往往只有最值，②消之转化为一元函数，再求最值，③将两个变量看成有序数对，当作平面内动点，从图形几何意义方面，求目标函数值域2、本题3种方法均可，方法一只适用本题，方法二具有一般性，方法三难度较大，思维要求高，但比较直观，在小题中应用较好，第二、第三层次公用例题已知,xy满足7523071104100xyxyxy且2,1,,MPxy，求714yx的取值范围222xy的最大值，最小值，3OMOP最大值，4cosOPMOP最小值解：1121851,9237,3943505【教学建议】1、本题是线性规划问题，是典型问法，是需要利用向量数量积的知识，才能得到线性目标函数，2、线性规划问题，有些比较直接，主要考查截距，斜率，距离，但这几年高考出现变化，可行域条件中出现曲线，或目标函数是上述三种情况的变式，对问题转化要求比较高，但复习仍然以基本型为主，适当进行一些变式。第一层次备用例题例1在ABC中，,ABACD为AC中点，且3BD，求ABC的面积最大值解：ABC的面积最大值为2思路1:代数法，建立目标函数，求最值思路2:几何法【教学建议】1、本题是实际问题中的最值问题。这类问题通常有2种思路，①根据图形几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算；②建立目标函数，转化为求函数的最值，2、本题采用思路2，建立目标函数，在表示面积时，有两种方法，一是通过两边及夹角，二是通过底及高，因此有两种方法，3、方法一是纯代数方法，转化为二次函数的最值，运算量转大；方法二是结合图形的几何性质，由于BD已知，点A要求满足AB=2AD，所以它的轨迹是一个圆，向题转化为轨迹上点到直线BD距离最大值问题，所以建系求轨迹方程，运算量小，方法简单，但思维要求高例2已知点,MN的坐标满足0,026312xyxyxy若1,1a，求MNa取值范围解：MNa取值范围7,7【教学建议】1、本题是线性规划问题，但目标函数不是常规的（截距，斜率，距离）型，需转化。2、由于M，N是可行域中任意两点，所以可以利用MNONOM，将问题转化为aON与aOM的差的取值范围，进一步转化为zxy的最大值与最小值。第三层次备用例题例1已知函数236fxxaaxb（1）解关于a的不等式10f（2）若不等式0fx的解集为（1,3），求实数,ab的值（3）若不等式4fxb对于1,2x恒成立，求实数a的取值范围解：（1）解集3636233,9xbxbab32,4【教学建议】1、本题涉及解一元二次不等式，一元二次不等式的解集与相应一元二次方程根的关系，及不等式恒等问题，2、解一元二次不等式，要考虑对应方程根的有无，根的大小，对应二次函数的开口方向，不等号方向，结合二次函数图象写出解集，己知一元二次不等式解集可知对应方程根以及二次项系数符号3、第（3）问是不等式恒成立问题，思路有三种①0,fxxD恒成立min0fx转化为求函数fx最小值，（可能要对参数讨论）②选进行变量分离，再求函数最值：即,fxaxD恒成立minfxa③利用函数图象和儿几何意义本题采用分离变量后求最值，思路清晰，便于运算，而从二次函数图象或讨论求最值，比较复杂。例2已知直线:1xylab，其中0,0ab经过点2,1P，求ab的最小值解:526思路1：基本不等式思路2：消元转化为求函数的值域思路3：利用图象的几何意义易错点：用消元法，要注意a的取值范围【教学建议】1、本题是求二元函数的值域问题，这类问题主要有三种解题思路①直接利用基本不等式，这种方法往往只有最值，②消之转化为一元函数，再求最值，③将两个变量看成有序数对，当作平面内动点，从图形几何意义方面，求目标函数值域2、本题3种方法均可，方法一中，整体处理利用基本不等式最简单，也具有一般性；方法三难度较大，思维要求高，但比较直观，在小题中应用较好，四、反馈练习