第二十一章重积分

《数学分析》教案-1-第二十一章重积分教学目的：了解含参变量定积分的概念、性质及计算；熟练掌握二重、三重积分的概念、性质及计算；会求曲面的面积、立体体积、物体的重心、转动惯量等；掌握格林公式的证明及其应用。教学内容：1、二重积分的概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；3、格林公式，曲线积分与路径的无关性；4、三重积分计算：化三重积分为累次积分，换元法（一般变换，柱坐标变换，球坐标变换）；5、重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量。教学重点：重积分的计算和格林公式教学难点：化重积分为累次积分教学时数：22学时§1二重积分概念（2学时）教学目的：理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件教学重点：二重积分的有关概念及可积条件教授方法：讲授为主一.矩形域上的二重积分：从曲顶柱体的体积引入，用直线网分割。定义二重积分《数学分析》教案-2-例1用定义计算二重积分.用直线网分割该正方形，在每个正方形上取其右上顶点为介点。解.二.可积条件：D.大和与小和。Th1,.Th2,.Th3在D上连续,在D上可积.Th4设,为上的可积函数。D,(或D).若在D上有界，且在D\上连续，则在D上可积。例2教材P217例2三．一般域上的二重积分：1．定义：一般域上的二重积分.《数学分析》教案-3-2．可求面积图形:用特征函数定义.四.二重积分的性质:性质1.性质2关于函数可加性性质3则在D上可积在和可积,且.性质4关于函数单调性性质5性质6性质7中值定理Th若区域D的边界是由有限条连续曲线(或)组成,在D上连续,则在D上可积。例3去掉积分中的绝对值。§2二重积分的计算（4学时）教学目的：熟练掌握二重积分的计算问题教学重点：化二重积分为累次积分，换元法（直角坐标变换）教授方法：讲授为主二.化二重积分为累次积分:《数学分析》教案-4-1.矩形域上的二重积分:2.简单域上的二重积分:简推公式,一般结果见教材P219Th9.例1,.解法一教材P221例3解法二为三角形,三个顶点为,.例2,.教材P221例2.例3求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积.教材P222例4.§3Green公式.曲线积分与路径无关性（4学时）教学目的：熟练掌握格林公式的证明及其应用，了解曲线积分与路径无关的条件。教学重点：格林公式及其证明教授方法：讲授为主一.Green公式:闭区域的正面与边界正向的规定搭配:右手螺旋定向,即以右手拇指表示区域的正面(理解为拇指“站立在”区域的正面上),则其余四指(弯曲)表示边界的正向.右手螺旋定向法则还可表述为:人站立在区域的正面的边界上,让区域在人的左方.则人前进的方向为边界的正向.参阅教材P224图21—10.若以L记正向边界,则用—L或L表示反向（或称为负向）边界.《数学分析》教案-5-1.Green公式:Th21.11若函数P和Q在闭区域DR上连续,且有连续的一阶偏导数,则有,其中L为区域D的正向边界.(证)教材P224Green公式又可记为.1.应用举例:对环路积分,可直接应用Green公式.对非闭路积分,常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例1计算积分,其中AB.曲线AB为圆周在第一象限中的部分.教材P226例1解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为.方向为自然方向的反向.因此.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点),成闭路.设所围《数学分析》教案-6-区域为D,注意到D为反向,以及,有.例2计算积分I=,其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)教材P227例2解.(和在D上有连续的偏导数).,.于是，I=.二.曲线积分与路线无关性：单连通域和复连通域1.积分与路径无关的等价条件:教材P228Th21.12设DR是单连通闭区域.若函数和在闭区域D内连续,且有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价：ⅰ）沿D内任一按段光滑的闭合曲线L,有.ⅱ）对D内任一按段光滑的曲线L,曲线积分与路径无关,只与曲线L的起点和终点有关.《数学分析》教案-7-ⅲ）是D内某一函数的全微分，即在D内有.ⅳ）在D内每一点处有.2.恰当微分的原函数:若有,则称微分形式是一个恰当微分。恰当微分有原函数,(它的一个)原函数为：.或其中点D,当点D时,常取=.验证第一式:=;.例6验证式是恰当微分,并求其原函数.教材P231例4.§4二重积分的变量变换（4学时）教学目的：熟练掌握二重积分的计算问题教学重点：化二重积分为累次积分，换元法（一般坐标变换，极坐标变换）《数学分析》教案-8-教授方法：讲授为主，辅以适当例题演示1.二重积分的变量变换公式：设变换的Jacobi,则,其中是在该变换的逆变换下平面上的区域在平面上的象。由条件,这里的逆变换是存在的。一般先引出变换,由此求出变换.而.例1,.教材P235例1.注：当被积函数形如,积分区域为直线型时,可试用线性变换.例2,.解设.则.，.《数学分析》教案-9-因此，.注：若区域是由两组“相似”曲线(即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别)围成的四线型区域，可引进适当的变换使其变成矩形区域。设区域由以下两组曲线围成：第一组：；第二组：.可试用变换..从中解出.在此变换之下，区域变成平面上的矩形区域.例3求由抛物线和直线所围平面区域的面积。教材P236例2.2.极坐标与广义极坐标变换:极坐标变换:,.广义极坐标变换:,.例4.教材P240例3.《数学分析》教案-10-例5(Viviani问题)求球体被圆柱面所割下立体的体积。教材P240例4.例6应用二重积分求广义积分.教材P241例5.例7求橢球体的体积。教材P241例6.四.积分换序:例8连续.对积分换序..例9连续.对积分换序..例10计算积分..§5三重积分（4学时）教学目的：掌握三重积分的计算教学重点：化三重积分为累次积分，换元法（一般变换，柱坐标变换，球坐标变换）教授方法：讲授为主一．三重积分的定义：1．长方体上的积分：《数学分析》教案-11-2．一般可求体积立体上的积分：二．三重积分的计算：1．长方体上的积分：.2.型体上的积分:（1）内一外二:=,其中,为在平面上的投影.就函数为点密度的情况解释该公式.（2）内二外一:=,其中介于平面和之间,是用平面截所得的截面.内二外一多用于围成的闭合曲面由一个方程给出的情况.例1,:.教材P245例1.解,《数学分析》教案-12-例2,:.解.法一,其中为椭圆域,即椭圆域,其面积为.因此.同理得,.因此.法二上下对称,为的偶函数,,其中为在平面上方的部分,其在平面上的投影为椭圆.于是《数学分析》教案-13-.,.因此.同理…….于是.例3设.计算积分,:.解.三.三重积分换元公式:Th21.13教材P247.1.柱坐标:教材P248.《数学分析》教案-14-例4,:.P248例32.球坐标:P249.P250例4.§6重积分的应用（4学时）教学目的：会应用重积分理论解决实际问题教学重点：重积分在实际问题中的应用教授方法：演示练习为主一、曲面的面积设曲面方程为.有连续的一阶偏导数.推导曲面面积公式,或.例1教材P253例1二、重心教材P255三、转动惯量P256