第二次课定积分的应用

定积分的应用三。定积分的应用•1.定积分的元素法（参多媒体·）•平面图形面积；直角坐标，极坐标，例1,7•体积旋转体体积，例1,4,5；平行截面面积已知体积，例7；考研题：1,3,5,6•物理应用：（1）功例1—5；（2）水压力例6—7（3）引力例8—9•考研题4,8定积分的微元法定积分的应用定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力.也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善.因此，在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法——微元法，不断积累和提高数学的应用能力.Ux],[ba],[ba],[dxxxUUdxxfdU)(内容要点在应用学科中广泛采用的将所求量（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：一、由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间的一个区间，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的区间微元，；，并将其表示为：微元dxxfdU)(UbabadxxfdUU)(二、由微元写出积分根据写出表示总量的定积分应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：U],[ba],[baUUU1）所求总量关于区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间,则分成许多部分量,而等于所有部分量之和.这一要求是由定积分概念本身所决定的;相应地Udxxf)(UdUdxxf)(dxxfU)(dxdxxfdU)(（2）使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式，即使得.在通常情况下，要检验是否为的高阶无穷小并非易事，因此，的合理性.在实际应用要注意积分的意义1.定积分可看作一个“高级”的加法—即求和与取极限；即将“微元”在区间[a,b]上进行“累积”这就是“元素法”的思想，因此在用元素法计算定积分时关键在于找准“元素”及“累积”的区间[a,b]()bafxdx()fxdx2.这种加法是建立在“平行”意义上的，如果是非平行意义，例如非平行力，则要进行“平行化”处理。3.要注意定积分的应用是有范围的：其总量必须与某直线段（区间）有关，否则便不能用定积分处理。dxxfdV2)]([.)]([2badxxfV2[()]dVydy2[()].dcVydy一、旋转体的体积1.绕x轴旋转体积微元,旋转体的体积2.绕y轴旋转旋转体的体积（2）（1）,)(dxxAdV.)(badxxAV二、平行截面面积为已知的立体的体积体积微元所求立体的体积2()xfxdx2()byaVxfxdx注：绕y轴旋转还可用所谓的“柱壳法”：设由函数y=f(x)，【x，x+dx】直线：x=a，x=b，x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转：取区间微元：【x，x+dx】其对应的以dx为底，f(x)为高的矩形绕y周旋转的体积微元为dv=，故绕y轴旋转的体积为：（3）sin,(0)yxx12VV2002()2sin2yVxfxdxxxdx例1.求x周所围曲边梯形绕y轴1的旋转体体积解1.如应用公式（2）则化成两个曲边梯形绕y轴旋转体积之差（运算麻烦）2.应用公式（3）(sin),(1cos)xattyat02t202333022(sin)(1cos)(sin)6ayVxydxatttdtta例2.计算摆线相应于的图形绕x，y轴旋转所得旋转体体积。解：方法1.绕y轴旋转：的一拱，直线y=0所围成（运算麻烦）方法2.应用公式（3）得：2222332100()()6aayVxydyxydya物理应用例1设40牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长成15厘米,问需要作多大的功才能克服弹性恢复力,将伸长的弹簧从15厘米处再拉长3厘米?SSab例2在底面积为的圆柱形容器中盛有一)从点处推移到处.计算在移动过程中,气体在等温条件下,由于气体的膨胀定量的气体.,把容器中的一个活塞(面积为压力所作的功.功例3一圆柱形蓄水池高为5米,底半径为3米,池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出,需作多少功?例4设有一直径为20m的半球形水池,池内贮满水,若要把水抽尽,问至少作多少功.R例5一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力.水压力aa2例6将直角边各为及垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力.的直角三角形薄板引力lamM例7假设有一长度为线密度为的均匀细棒单位处有一质量为的引力.上距棒，在其中垂线试计算该棒对质点的质点课堂练习1.有一圆台形的桶,盛满了汽油,桶高为3米,上、下底半径分别为1米及2米,试求将桶内汽油全部吸尽所需作的功(汽油密度3/800米千克2.一矩形水闸门,宽20米,高16米,水面与闸门顶齐,求闸门上所受的总压力.定积分的应用题解答变力沿直线所作的功例1设40牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长成15厘米,问需要作多大的功才能克服弹性恢复力,将伸长的弹簧从15厘米处再拉长3厘米?.)(kxxF解如图(见系统演示)，根据胡克定律，有分析：应用虎克定理；先求k，再求功,40)05.0(F,4005.0k.800k.800)(xxF56.1)025.0064.0(40040080008.005.0208.005.0xxdxW当弹簧从10厘米拉长到15厘米时，它伸长量完为5厘米＝0.05米.因有即故得于是可写出这样，弹簧从15厘米拉长到18厘米，所作的功为(焦).注意：积分区间不要写成【15,18】，F对应的是弹簧“拉伸”的长度qrr2().qFkkr是常数例2把一个带电量的点电荷放在轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方,那么电场对它的作用力的大小为arrbrF如图6-5-2所示，当这个单位正电荷在电场中从处沿轴移动到处时,计算电场力对它所作的功.分析：用元素法r],,[bar],,[drrr,2drrkqdW.1112bakqrkqdrrkqWbabaa.12akqrkqdrrkqWaa解取为积分变量，任取一小区间功微元:所求功为如果要考虑将单位电荷从点移到无穷远处SSab例3在底面积为的圆柱形容器中盛有一)从点处推移到处.计算在移动过程中,气体在等温条件下,由于气体的膨胀定量的气体.,把容器中的一个活塞(面积为压力所作的功.xpV,k.解如图，活塞的位置可用坐标表示.由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强与体积的乘积是常数即.Vkp因为,xSV所以.xSkp故作用在活塞上的力.xkSxSkSpF在气体膨胀过程中，体积V是变的，因而x也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的.取为积分变量，它的变化区间为xkpV],[dxxx],[baxdxxF,dxxk.dxxkdW.ln][lnabkxkdxxkWbaba或设为上任一小区间.当活塞从移动到时，变力所作的功近似于即功微元为于是所求的功为x],5,0[x],,[dxxx,38.92dx,2.88dxxdW346222.882.8850250xdxxW例4一圆柱形蓄水池高为5米,底半径为3米,池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出,需作多少功?解建立如下坐标系，取为积分变量，取任一小区间这一薄层水的重力为功微元所求功(千焦).],,[dxxxxxxyV)100(223m例5设有一直径为20m的半球形水池,池内贮满水,若要把水抽尽,问至少作多少功.解如图，选取区间微元相应该微元上的一层水的体积(),抽出这层水需作的功为xxxgxxxgW)100()100(22.)100(2dxxxgdW410021002104)100()100(gdxxxgdxxxgW水压力例6一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力.解在桶一端面建立如图坐标系，取222,dFxRxdx222222002()RRFxRxdxRxdRx小矩形片的压力微元为aa2],,[dxxx,)(2dxxa例7将直角边各为及的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力.解建立如图坐标系，取任一小区间面积微元,)(2)2(dxxaaxdP.37)(2)2(30adxxaaxPa压力微元所求压力lamMy,2,2lly],,[dyyy引力例8假设有一长度为、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒单位处有一质量为的质点M，试计算该棒对质点的引力.解建立如下坐标系，取为积分变量任取一微元小段与质,22yar,22yadymkF,)(2322yadyamkdFx,)4(2)(2122222322laalkmyadyamkFllx.0yF点的距离为小段对质点的引力水平方向的分力微元由对称性，在铅直方向分力为,P例9计算半径为a,密度为均质的圆形薄板以怎样的引力吸引质量为m的质点P.此质点位于通过薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直线上,最短距离PQ等于b.解建立如图坐标系.由于薄板均质且关于两坐标轴对称，在圆心的中垂线上，显然引力在水平方向的分力为0，在垂直方向的分力指向yF],0[a],,[dxxxx轴的正向，所求的引力看成分布在区间上.选取区间微元对于以为内半径的圆环，对质点P的引力.(2cos2232222dxxbbxkmdxxbxkmFy）其质量,2xdxm在y轴方向上的分力为：],[dxxx.(22322dxxbbxkmdFy）.12(22202322babkmdxxbbxkmFay）F,||||yyFFFy即相应于微元的引力微元从而即所求引力的大小方向指向轴的正向.课堂练习1.有一圆台形的桶,盛满了汽油,桶高为3米,上、下底半径分别为1米及2米,试求将桶内汽油全部吸尽所需作的功(汽油密度3/800米千克2.一矩形水闸门,宽20米,高16米,水面与闸门顶齐,求闸门上所受的总压力.2(0,0)yaxax21yx考研题1.设曲线，与交与点A，过坐标原点O与A的直线与曲线围成一平面图形，问a为何值时该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积最大？最大体积是多少？0x221,111yaxaxyaayx1+aaxy解：当时，由直线OA的方程为：1122224502272max2()(0)115(1)(4)0415(1)3251875aaxaVaxdxaaadVaaadaaV所求旋转体体积为：(0)xyxex01xsxedx2.位于曲线下方，x轴的上方的无界图形的面积是解：1D22yx2D22yx1D1V2D2V12VV3.设是由抛物线，和直线x=a，x=2和y=0所围成的平面区域，是由抛物线，和直线x=a，和y=0所围成的平面区域，其中0a2，（1）试求绕y轴旋转所成的旋转体体积及绕y轴旋转所成的旋转体体积（2）试问a为何值时，取得最大值，试求此最大值。2252212224204(32)(2),522aaaVxdxyVaadya54312max4(32)4(1)051291,5VVVaaVaaaV